English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

cos^2(θ)-6cos(θ)+1=0

Lösung

cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 1 = 0

Lösung

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

Grad

θ = 80.12071 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 279.87928 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 1 = 0

Löse mit Substitution

cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 1 = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

u^{2} - 6 u + 1 = 0

u^{2} - 6 u + 1 = 0 : u = 3 + 22, u = 3 - 22

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 42

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 4 = 32

= 32

Primfaktorzerlegung von

32 : 2^{5}

32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Fasse zusammen

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1} : 3 + 22

\frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 + 4 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 4 2}{2}

Faktorisiere

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

u = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1} : 3 - 22

\frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 - 4 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 4 2}{2}

Faktorisiere

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Schreibe um

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 3 + 22, u = 3 - 22

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 3 + 22, cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 + 22, cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 + 22 :

Keine Lösung

cos (θ) = 3 + 22

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = 3 - 22 : θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

cos (θ) = 3 - 22

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = 3 - 22

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 3 - 22

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cot(3θ)+1=csc(3θ)

cot (3 θ) + 1 = csc (3 θ)

sin(a)=-1/2

sin (a) = - \frac{1}{2}

sin(θ)= 5/11

sin (θ) = \frac{5}{11}

4=-8cos(θ)

4 = - 8 cos (θ)

2cos^2(θ)-5cos(θ)=3

2 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) = 3