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Beliebt Trigonometrie >

8-sin(θ)=cos(2θ)

Lösung

8 - sin (θ) = cos (2 θ)

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r θ \in R

Schritte zur Lösung

8 - sin (θ) = cos (2 θ)

Subtrahiere

cos (2 θ)

von beiden Seiten

8 - sin (θ) - cos (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

8 - cos (2 θ) - sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 8 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ)

Vereinfache

8 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ) : 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 7

8 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (θ)

= 8 - 1 + 2 sin^{2} (θ) - sin (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

8 - 1 = 7

= 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 7

= 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 7

7 - sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

7 - sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

7 - u + 2 u^{2} = 0

7 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{4} + i \frac{55}{4}, u = \frac{1}{4} - i \frac{55}{4}

7 - u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 1, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7}{2 \cdot 2}

Vereinfache

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7 : 55 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 7 = 56

4 \cdot 2 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 7 = 56

= 56

= 1 - 56

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 56 = - 55

= - 55

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 55 = - 1 55

= - 1 55

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 55 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 55 i}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 55 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 55 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 55 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{4} + i \frac{55}{4}

\frac{- ( - 1 ) + 55 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 55 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 + 55 i}{4}

Schreibe

\frac{1 + 55 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{4} + \frac{55}{4} i

\frac{1 + 55 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 55 i}{4} = \frac{1}{4} + \frac{55 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{55 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{55}{4} i

u = \frac{- ( - 1 ) - 55 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{4} - i \frac{55}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 55 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 55 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 - 55 i}{4}

Schreibe

\frac{1 - 55 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{4} - \frac{55}{4} i

\frac{1 - 55 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 55 i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{55 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{55 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{55}{4} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4} + i \frac{55}{4}, u = \frac{1}{4} - i \frac{55}{4}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{55}{4}, sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{55}{4}

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{55}{4}, sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{55}{4}

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{55}{4} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{55}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{55}{4} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{55}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r θ \in R

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,2cos^2(x)-cos(x)-1=0

so l v e f or x, 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

cos(x)=(-sqrt(3))/2 ,0<= x<= 2pi

cos (x) = \frac{- 3}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

-sin(t)=cos(t)

- sin (t) = cos (t)

1=sin(x^2)

1 = sin (x^{2})

sin(3x)=-sin(2x)

sin (3 x) = - sin (2 x)