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Popolare Trigonometria >

cos(2x)=sec(x)

Soluzione

cos (2 x) = sec (x)

Soluzione

x = 2 πn

Gradi

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (2 x) = sec (x)

Sottrarre

sec (x)

da entrambi i lati

cos (2 x) - sec (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (2 x) - sec (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos (2 x) - \frac{1}{cos ( x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1 - \frac{1}{cos ( x )}

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Semplificare

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Semplificare

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Moltiplicare:

1 \cdot u = u

= - u

Semplificare

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= - 1

Semplificare

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Semplificare

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Risolvi

- u - 1 + 2 u^{3} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u - 1 = 0

Fattorizza

2 u^{3} - u - 1 : (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

2 u^{3} - u - 1

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 1, a_{n} = 2

I divisori of

a_{0} : 1,

I divisori di

a_{n} : 1, 2

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1}{1 , 2}

\frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u - 1

= (u - 1) \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

2 u^{3} - u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quoziente = 2 u^{2}

Moltiplica

u - 1

per

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Sottrarre

2 u^{3} - 2 u^{2}

2 u^{3} - u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 2 u^{2} - u - 1

Quindi

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

2 u^{2} - u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quoziente = 2 u

Moltiplica

u - 1

per

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Sottrarre

2 u^{2} - 2 u

2 u^{2} - u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = u - 1

Quindi

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividere

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u - 1

and the divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quoziente = 1

Moltiplica

u - 1

per

1 : u - 1

Sottrarre

u - 1

u - 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Risolvi

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Semplifica

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Applicare la regola del numero immaginario:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 4 + 8 = 4

= 4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 i}{4}

Fattorizza

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Riscrivi come

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{- 1 + i}{2}

Riscrivi

\frac{- 1 + i}{2}

in forma complessa standard:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{- 1 + i}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 i}{4}

Fattorizza

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Riscrivi come

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Fattorizzare dal termine comune

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{1 + i}{2}

Riscrivi

- \frac{1 + i}{2}

in forma complessa standard:

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

- \frac{1 + i}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

= - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Le soluzioni sono

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2}

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluzioni generali per

cos (x) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Nessuna soluzione

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Nessuna soluzione

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Nessuna soluzione

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = 2 πn

Grafico

Esempi popolari

3cos^2(x)-6cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) - 6 cos (x) + 3 = 0

14sin(x+pi/2)+21tan(pi-x)=0

14 sin (x + \frac{π}{2}) + 21 tan (π - x) = 0

8cos^3(x)=8cos(x)

8 cos^{3} (x) = 8 cos (x)

4cos(2θ)=cos^2(θ)-2

4 cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - 2

2cos^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi

2 cos^{2} (x) + sin (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π