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Beliebt Trigonometrie >

-sin(2θ)-cos(4θ)=0,0<= θ<= 2pi

Lösung

- sin (2 θ) - cos (4 θ) = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

Lösung

θ = \frac{π}{4}, θ = \frac{5 π}{4}, θ = \frac{7 π}{12}, θ = \frac{11 π}{12}, θ = \frac{19 π}{12}, θ = \frac{23 π}{12}

Grad

θ = 4 5^{\circ}, θ = 22 5^{\circ}, θ = 10 5^{\circ}, θ = 16 5^{\circ}, θ = 28 5^{\circ}, θ = 34 5^{\circ}

Schritte zur Lösung

- sin (2 θ) - cos (4 θ) = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

Angenommen:

u = 2 θ

- sin (u) - cos (2 u) = 0, 0 \leq u \leq 4 π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (2 u) - sin (u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - (1 - 2 sin^{2} (u)) - sin (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= - 1 + 2 sin^{2} (u) - sin (u)

- 1 - sin (u) + 2 sin^{2} (u) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - sin (u) + 2 sin^{2} (u) = 0

Angenommen:

sin (u) = u

- 1 - u + 2 u^{2} = 0

- 1 - u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 1 - u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 3}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (u)

ein

sin (u) = 1, sin (u) = - \frac{1}{2}

sin (u) = 1, sin (u) = - \frac{1}{2}

sin (u) = 1, 0 \leq u \leq 4 π : u = \frac{π}{2}, u = \frac{5 π}{2}

sin (u) = 1, 0 \leq u \leq 4 π

Allgemeine Lösung für

sin (u) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq u \leq 4 π

u = \frac{π}{2}, u = \frac{5 π}{2}

sin (u) = - \frac{1}{2}, 0 \leq u \leq 4 π : u = \frac{7 π}{6}, u = \frac{11 π}{6}, u = \frac{19 π}{6}, u = \frac{23 π}{6}

sin (u) = - \frac{1}{2}, 0 \leq u \leq 4 π

Allgemeine Lösung für

sin (u) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq u \leq 4 π

u = \frac{7 π}{6}, u = \frac{11 π}{6}, u = \frac{19 π}{6}, u = \frac{23 π}{6}

Kombiniere alle Lösungen

u = \frac{π}{2}, u = \frac{5 π}{2}, u = \frac{7 π}{6}, u = \frac{11 π}{6}, u = \frac{19 π}{6}, u = \frac{23 π}{6}

Setze in

u = 2 θ

ein

2 θ = \frac{π}{2} : θ = \frac{π}{4}

2 θ = \frac{π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{π}{2}}{2} : \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

θ = \frac{π}{4}

θ = \frac{π}{4}

θ = \frac{π}{4}

2 θ = \frac{5 π}{2} : θ = \frac{5 π}{4}

2 θ = \frac{5 π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{5 π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{2}}{2} : \frac{5 π}{4}

\frac{\frac{5 π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{5 π}{4}

θ = \frac{5 π}{4}

θ = \frac{5 π}{4}

θ = \frac{5 π}{4}

2 θ = \frac{7 π}{6} : θ = \frac{7 π}{12}

2 θ = \frac{7 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{7 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} : \frac{7 π}{12}

\frac{\frac{7 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{7 π}{12}

θ = \frac{7 π}{12}

θ = \frac{7 π}{12}

θ = \frac{7 π}{12}

2 θ = \frac{11 π}{6} : θ = \frac{11 π}{12}

2 θ = \frac{11 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{11 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} : \frac{11 π}{12}

\frac{\frac{11 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{11 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{11 π}{12}

θ = \frac{11 π}{12}

θ = \frac{11 π}{12}

θ = \frac{11 π}{12}

2 θ = \frac{19 π}{6} : θ = \frac{19 π}{12}

2 θ = \frac{19 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{19 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{19 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{19 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{19 π}{6}}{2} : \frac{19 π}{12}

\frac{\frac{19 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{19 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{19 π}{12}

θ = \frac{19 π}{12}

θ = \frac{19 π}{12}

θ = \frac{19 π}{12}

2 θ = \frac{23 π}{6} : θ = \frac{23 π}{12}

2 θ = \frac{23 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{23 π}{6}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{23 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{23 π}{6}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{23 π}{6}}{2} : \frac{23 π}{12}

\frac{\frac{23 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{23 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{23 π}{12}

θ = \frac{23 π}{12}

θ = \frac{23 π}{12}

θ = \frac{23 π}{12}

θ = \frac{π}{4}, θ = \frac{5 π}{4}, θ = \frac{7 π}{12}, θ = \frac{11 π}{12}, θ = \frac{19 π}{12}, θ = \frac{23 π}{12}

Graph

Beliebte Beispiele

-4cos(2θ)+7cos(θ)+4=9cos(θ)+7

- 4 cos (2 θ) + 7 cos (θ) + 4 = 9 cos (θ) + 7

8cos^2(x)+2sin(x)-7=0

8 cos^{2} (x) + 2 sin (x) - 7 = 0

cos(θ)=sin(θ/3-10)

cos (θ) = sin (\frac{θ}{3} - 1 0^{\circ})

tan(x)=sec(x)

tan (x) = sec (x)

tan(θ)= 8/6

tan (θ) = \frac{8}{6}