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Populaire Trigonométrie >

prouver (cos(x)cot(x))/(1-sin(x))-1=csc(x)

Solution

prouver

\frac{cos ( x ) cot ( x )}{1 - sin ( x )} - 1 = csc (x)

Solution

vrai

étapes des solutions

\frac{cos ( x ) cot ( x )}{1 - sin ( x )} - 1 = csc (x)

En manipulant le côté gauche

\frac{cos ( x ) cot ( x )}{1 - sin ( x )} - 1

Exprimer avec sinus, cosinus

- 1 + \frac{cos ( x ) cot ( x )}{1 - sin ( x )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - 1 + \frac{cos ( x ) \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - sin ( x )}

Simplifier

- 1 + \frac{cos ( x ) \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - sin ( x )} : \frac{- sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}

- 1 + \frac{cos ( x ) \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - sin ( x )}

\frac{cos ( x ) \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - sin ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}

\frac{cos ( x ) \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 - sin ( x )}

Multiplier

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ( x )}}{1 - sin ( x )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}

= - 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}

= - \frac{1 \cdot sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}

Multiplier:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{- sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{- sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - ( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}{( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{cos ^{2} ( x ) - ( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}{( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x ) - ( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}{( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}

Simplifier

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - ( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}{( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )} : \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x ) - ( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}{( 1 - sin ( x ) ) sin ( x )}

Développer

1 - sin^{2} (x) - (1 - sin (x)) sin (x) : - sin (x) + 1

1 - sin^{2} (x) - (1 - sin (x)) sin (x)

= 1 - sin^{2} (x) - sin (x) (1 - sin (x))

Développer

- sin (x) (1 - sin (x)) : - sin (x) + sin^{2} (x)

- sin (x) (1 - sin (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - sin (x), b = 1, c = sin (x)

= - sin (x) \cdot 1 - (- sin (x)) sin (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 1 \cdot sin (x) + sin (x) sin (x)

Simplifier

- 1 \cdot sin (x) + sin (x) sin (x) : - sin (x) + sin^{2} (x)

- 1 \cdot sin (x) + sin (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Multiplier:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= - sin (x) + sin^{2} (x)

= - sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) - sin (x) + sin^{2} (x)

Simplifier

1 - sin^{2} (x) - sin (x) + sin^{2} (x) : - sin (x) + 1

1 - sin^{2} (x) - sin (x) + sin^{2} (x)

Grouper comme termes

= - sin^{2} (x) - sin (x) + sin^{2} (x) + 1

Additionner les éléments similaires :

- sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 0

= - sin (x) + 1

= - sin (x) + 1

= \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Annuler le facteur commun :

- sin (x) + 1

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Simplifier

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( x )}{1}

Appliquer la règle

\frac{a}{1} = a

= csc (x)

csc (x)

csc (x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver (1+tan(x))^2=sec^2(x)+2tan(x)

p ro v e (1 + tan (x))^{2} = sec^{2} (x) + 2 tan (x)

prouver (sec^2(x))/(2tan(x))=csc(2x)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( x )}{2 tan ( x )} = csc (2 x)

prouver (sec^2(x)-1)csc(x)=tan(x)sec(x)

p ro v e (sec^{2} (x) - 1) csc (x) = tan (x) sec (x)

prouver cos(x-pi/2)=sin(x)

p ro v e cos (x - \frac{π}{2}) = sin (x)

prouver (1+tan^2(x))cot(x)=sec(x)csc(x)

p ro v e (1 + tan^{2} (x)) cot (x) = sec (x) csc (x)