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beweisen cos(2θ)=2cos^2(θ)-1

Lösung

beweisen

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Manipuliere die linke Seite

cos (2 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 θ)

Schreibe um

= cos (θ + θ)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + s) = cos (s) cos (s) - sin (s) sin (s)

= cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ)

Vereinfache

cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ) : cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ)

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 1

sin^{2} (θ) = 1 - cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos^{2} (θ) - 1

cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - 1 - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Vereinfache

cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ) : 2 cos^{2} (θ) - 1

cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 2 cos^{2} (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

sin (\frac{7 π}{8})

sin (\frac{4 π}{3})

sin^{2} (x) = 3 cos^{2} (x)

sin (- π)

cos (5)