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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+tan^2(x))/(2tan(x))=csc(2x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )} = csc (2 x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )} = csc (2 x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

\frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{2 s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{2 s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} ) cos ( x )}{sin ( x ) \cdot 2}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} cos ( x )}{2 sin ( x )}

Multipliziere

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos (x) : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ( x )}}{2 sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x ) \cdot 2}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1}{sin ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( 2 x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( 2 x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( 2 x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (2 x)

csc (2 x)

csc (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(3θ)=cos^3(θ)-3cos(θ)sin^2(θ)

p ro v e cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 cos (θ) sin^{2} (θ)

beweisen (tan^2(x))/(sec(x))=sin(x)tan(x)

p ro v e \frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x )} = sin (x) tan (x)

beweisen sec(u)-tan(u)=(cos(u))/(1+sin(u))

p ro v e sec (u) - tan (u) = \frac{cos ( u )}{1 + sin ( u )}

beweisen cot(x)+(sin(x))/(1+cos(x))=csc(x)

p ro v e cot (x) + \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} = csc (x)

beweisen (csc^2(x))/(2cot(x))=csc(2x)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x )}{2 cot ( x )} = csc (2 x)