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beweisen sin(2θ)=(2cot(θ))/(1+cot^2(θ))

Lösung

beweisen

sin (2 θ) = \frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (2 θ) = \frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}{1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}{1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} : \frac{2 cos ( θ ) sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}

\frac{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}{1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}{1 + \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{2 cos ( θ )}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 2}{sin ( θ )}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}{1 + \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 2}{sin ( θ ) ( 1 + \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} )}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{2 cos ( θ )}{\frac{s i n ^{2} ( θ ) + c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} sin ( θ )}

Multipliziere

sin (θ) \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

sin (θ) \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{2 cos ( θ )}{\frac{s i n ^{2} ( θ ) + c o s ^{2} ( θ )}{s i n ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 2 sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}

= \frac{2 cos ( θ ) sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}

= \frac{2 cos ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 cos ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{sin ( 2 θ )}{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{sin ( 2 θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sin (2 θ)

= sin (2 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x ) cot ( x )}{cos ( x )} = sin (x)

p ro v e csc (2 θ) + cot (2 θ) = cot (θ)

p ro v e - tan (x) cos (x) = sin (- x)

p ro v e cos (x + 2 π) = cos (x)