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人気のある三角関数 >

証明する (sec(u)-tan(u))(csc(u)+1)=cot(u)

解

証明する

(sec (u) - tan (u)) (csc (u) + 1) = cot (u)

解

真

解答ステップ

(sec (u) - tan (u)) (csc (u) + 1) = cot (u)

左側を操作する

(sec (u) - tan (u)) (csc (u) + 1)

サイン, コサインで表わす

(1 + csc (u)) (sec (u) - tan (u))

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (1 + \frac{1}{sin ( u )}) (sec (u) - tan (u))

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (1 + \frac{1}{sin ( u )}) (\frac{1}{cos ( u )} - tan (u))

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + \frac{1}{sin ( u )}) (\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )})

簡素化

(1 + \frac{1}{sin ( u )}) (\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )}) : \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( 1 - sin ( u ) )}{sin ( u ) cos ( u )}

(1 + \frac{1}{sin ( u )}) (\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )})

結合

1 + \frac{1}{sin ( u )} : \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )}

1 + \frac{1}{sin ( u )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 sin ( u )}{sin ( u )}

= \frac{1 \cdot sin ( u )}{sin ( u )} + \frac{1}{sin ( u )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( u ) + 1}{sin ( u )}

乗算:

1 \cdot sin (u) = sin (u)

= \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )}

= \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )} (\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )})

分数を組み合わせる

\frac{1}{cos ( u )} - \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{1 - sin ( u )}{cos ( u )}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )} (\frac{- sin ( u ) + 1}{cos ( u )})

括弧を削除する:

(a) = a

= \frac{sin ( u ) + 1}{sin ( u )} \cdot \frac{1 - sin ( u )}{cos ( u )}

分数を乗じる:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( 1 - sin ( u ) )}{sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{( sin ( u ) + 1 ) ( 1 - sin ( u ) )}{sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{( 1 + sin ( u ) ) ( 1 - sin ( u ) )}{cos ( u ) sin ( u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{( 1 + sin ( u ) ) ( 1 - sin ( u ) )}{cos ( u ) sin ( u )}

拡張

(1 + sin (u)) (1 - sin (u)) : 1 - sin^{2} (u)

(1 + sin (u)) (1 - sin (u))

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (u)

= 1^{2} - sin^{2} (u)

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (u)

= \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{cos ( u ) sin ( u )}

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

1 - sin^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u )}{cos ( u ) sin ( u )}

共通因数を約分する:

cos (u)

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sin(x)=cos(x-pi/2)

p ro v e sin (x) = cos (x - \frac{π}{2})

証明する 1/(1+cos(x))=csc^2(x)-csc(x)cot(x)

p ro v e \frac{1}{1 + cos ( x )} = csc^{2} (x) - csc (x) cot (x)

証明する 1/(1-sin(x))-1/(1+sin(x))=(2tan(x))/(cos(x))

p ro v e \frac{1}{1 - sin ( x )} - \frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

証明する cos(t)cot(t)=(1-sin^2(t))/(sin(t))

p ro v e cos (t) cot (t) = \frac{1 - sin ^{2} ( t )}{sin ( t )}

証明する cos^2(2u)-sin^2(2u)=cos(4u)

p ro v e cos^{2} (2 u) - sin^{2} (2 u) = cos (4 u)