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Popolare Trigonometria >

dimostrare (sin(2x))/(1-cos(2x))=2csc(2x)-tan(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )} = 2 csc (2 x) - tan (x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )} = 2 csc (2 x) - tan (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - cos ( 2 x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Semplifica

\frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Espandi

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Distribuire le parentesi

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{2 sin ^{2} ( x )}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Cancella il fattore comune:

sin (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Manipolando il lato destro

2 csc (2 x) - tan (x)

Esprimere con sen e cos

- tan (x) + 2 csc (2 x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 csc (2 x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

Semplifica

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )} : \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )} = \frac{2}{sin ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( 2 x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{2}{sin ( 2 x )}

Minimo Comune Multiplo di

cos (x), sin (2 x) : cos (x) sin (2 x)

cos (x), sin (2 x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

cos (x)

sin (2 x)

= cos (x) sin (2 x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos (x) sin (2 x)

Per

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (2 x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Per

\frac{2}{sin ( 2 x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x)

\frac{2}{sin ( 2 x )} = \frac{2 cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

= - \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )} + \frac{2 cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

= \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

= \frac{2 cos ( x ) - sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{2 cos ( x ) - sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )}

Semplifica

\frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )} : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )}

2 cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= 2 cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x ) cos ( x )}

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Fattorizza

2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x) : 2 cos (x) (1 - sin^{2} (x))

2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x)

Riscrivi come

= 1 \cdot 2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x)

Fattorizzare dal termine comune

2 cos (x)

= 2 cos (x) (1 - sin^{2} (x))

= \frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )}

Cancellare

\frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )} : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( x ) ( - sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Cancella il fattore comune:

cos (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Cancella il fattore comune:

cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare tan(x)=tan(x)*csc^2(x)+cot(-x)

p ro v e tan (x) = tan (x) \cdot csc^{2} (x) + cot (- x)

dimostrare (1-cos(2θ)+sin(2θ))/(1+cos(2θ)+sin(2θ))=tan(θ)

p ro v e \frac{1 - cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ ) + sin ( 2 θ )} = tan (θ)

dimostrare cot(x)sec^2(x)-cot(x)=tan(x)

p ro v e cot (x) sec^{2} (x) - cot (x) = tan (x)

dimostrare cos(-pi/4-5t)=cos(5t+pi/4)

p ro v e cos (- \frac{π}{4} - 5 t) = cos (5 t + \frac{π}{4})

dimostrare tan(pi/4-θ)=(1-tan(θ))/(1+tan(θ))

p ro v e tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}