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인기 있는 삼각법 >

증명 ((sec(θ)-tan(θ))^2+1)/(csc(θ)(sec(θ)-tan(θ)))=2tan(θ)

해법

증명

\frac{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{csc ( θ ) ( sec ( θ ) - tan ( θ ) )} = 2 tan (θ)

해법

참

솔루션 단계

\frac{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{csc ( θ ) ( sec ( θ ) - tan ( θ ) )} = 2 tan (θ)

왼쪽 조작

\frac{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{csc ( θ ) ( sec ( θ ) - tan ( θ ) )}

죄로 표현하라, 왜냐하면

\frac{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{( sec ( θ ) - tan ( θ ) ) csc ( θ )}

기본 삼각형 항등식 사용:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - tan ( θ ) ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - tan ( θ ) ) csc ( θ )}

기본 삼각형 항등식 사용:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) csc ( θ )}

기본 삼각형 항등식 사용:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

단순화하세요:

\frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ ) ( 1 - sin ( θ ) )}

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

분수를 합치다

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

규칙 적용

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{- s i n ( θ ) + 1}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

분수를 합치다

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

규칙 적용

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{( \frac{- s i n ( θ ) + 1}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{( \frac{- s i n ( θ ) + 1}{c o s ( θ )} ) \frac{1}{s i n ( θ )}}

괄호 제거:

(a) = a

= \frac{( \frac{1 - s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{\frac{1 - s i n ( θ )}{c o s ( θ )} \cdot \frac{1}{s i n ( θ )}}

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

곱하다

: \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

다중 분수:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( 1 - sin ( θ ) ) \cdot 1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

(1 - sin (θ)) \cdot 1 = 1 - sin (θ)

(1 - sin (θ)) \cdot 1

곱하다:

(1 - sin (θ)) \cdot 1 = (1 - sin (θ))

= (1 - sin (θ))

괄호 제거:

(a) = a

= 1 - sin (θ)

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{( \frac{- s i n ( θ ) + 1}{c o s ( θ )} ) ^{2} + 1}{\frac{1 - s i n ( θ )}{c o s ( θ ) s i n ( θ )}}

지수 규칙 적용:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{\frac{( - s i n ( θ ) + 1 ) ^{2}}{c o s ^{2} ( θ )} + 1}{\frac{1 - s i n ( θ )}{c o s ( θ ) s i n ( θ )}}

분수 규칙 적용:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{( 1 - s i n ( θ ) ) ^{2}}{c o s ^{2} ( θ )} + 1 ) cos ( θ ) sin ( θ )}{1 - sin ( θ )}

\frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )} + 1

합류하다:

\frac{( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )} + 1

요소를 분수로 변환:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + 1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

곱하다:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) + ( - s i n ( θ ) + 1 ) ^{2}}{c o s ^{2} ( θ )} cos ( θ ) sin ( θ )}{1 - sin ( θ )}

\frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ) sin (θ)

곱하다

: \frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ )}

\frac{( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ) sin (θ)

다중 분수:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ ) ) cos ( θ ) sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

공통 요인 취소:

cos (θ)

= \frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ( θ ) ( c o s ^{2} ( θ ) + ( - s i n ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{c o s ( θ )}}{1 - sin ( θ )}

분수 규칙 적용:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ ) ( 1 - sin ( θ ) )}

= \frac{sin ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) + ( - sin ( θ ) + 1 ) ^{2} )}{cos ( θ ) ( 1 - sin ( θ ) )}

= \frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

삼각성을 사용하여 다시 쓰기

\frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + cos ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

피타고라스 정체성 사용:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

\frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

단순화하세요:

\frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{( ( 1 - sin ( θ ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

(1 - sin (θ))^{2} + 1 - sin^{2} (θ)

확대한다:

- 2 sin (θ) + 2

(1 - sin (θ))^{2} + 1 - sin^{2} (θ)

(1 - sin (θ))^{2} : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

완벽한 정사각형 공식 적용:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

단순화하세요:

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

규칙 적용

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

숫자를 곱하시오:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 1 - sin^{2} (θ)

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 1 - sin^{2} (θ)

단순화하세요:

- 2 sin (θ) + 2

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 1 - sin^{2} (θ)

집단적 용어

= - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ) + 1 + 1

유사 요소 추가:

sin^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = 0

= - 2 sin (θ) + 1 + 1

숫자 추가:

1 + 1 = 2

= - 2 sin (θ) + 2

= - 2 sin (θ) + 2

= \frac{sin ( θ ) ( - 2 sin ( θ ) + 2 )}{cos ( θ ) ( - sin ( θ ) + 1 )}

- 2 sin (θ) + 2

요인:

2 (- sin (θ) + 1)

- 2 sin (θ) + 2

로 고쳐 쓰다

= - 2 sin (θ) + 2 \cdot 1

공통 용어를 추출하다

2

= 2 (- sin (θ) + 1)

= \frac{2 ( - sin ( θ ) + 1 ) sin ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

공통 요인 취소:

- sin (θ) + 1

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

삼각성을 사용하여 다시 쓰기

= 2 \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

기본 삼각형 항등식 사용:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

2 tan (θ)

2 tan (θ)

우리는 양측이 같은 형태를 취할 수 있다는 것을 보여주었습니다

\Rightarrow 참

인기 있는 예

증명 2csc(2x)=sec(x)csc(x)

p ro v e 2 csc (2 x) = sec (x) csc (x)

증명 tan(x/2)=(sin(x))/(cos(x)+1)

p ro v e tan (\frac{x}{2}) = \frac{sin ( x )}{cos ( x ) + 1}

증명 (1-cos(θ))(1+sec(θ))=sin(θ)tan(θ)

p ro v e (1 - cos (θ)) (1 + sec (θ)) = sin (θ) tan (θ)

증명 tan(2t)=2sin(t)cos(t)sec(2t)

p ro v e tan (2 t) = 2 sin (t) cos (t) sec (2 t)

증명 tan^3(x)-tan(x)sec^2(x)=tan(-x)

p ro v e tan^{3} (x) - tan (x) sec^{2} (x) = tan (- x)