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Popolare Trigonometria >

dimostrare 2csc^2(y)= 1/(1-cos(y))+1/(1+cos(y))

Soluzione

dimostrare

2 csc^{2} (y) = \frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

2 csc^{2} (y) = \frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

Manipolando il lato destro

\frac{1}{1 - cos ( y )} + \frac{1}{1 + cos ( y )}

Semplifica

\frac{1}{1 + cos ( y )} + \frac{1}{1 - cos ( y )} : \frac{2}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

\frac{1}{1 + cos ( y )} + \frac{1}{1 - cos ( y )}

Minimo Comune Multiplo di

1 + cos (y), 1 - cos (y) : (cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

1 + cos (y), 1 - cos (y)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

1 + cos (y)

1 - cos (y)

= (cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

(cos (y) + 1) (- cos (y) + 1)

Per

\frac{1}{1 + cos ( y )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

- cos (y) + 1

\frac{1}{1 + cos ( y )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( y ) + 1 )}{( 1 + cos ( y ) ) ( - cos ( y ) + 1 )} = \frac{- cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

Per

\frac{1}{1 - cos ( y )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (y) + 1

\frac{1}{1 - cos ( y )} = \frac{1 \cdot ( cos ( y ) + 1 )}{( 1 - cos ( y ) ) ( cos ( y ) + 1 )} = \frac{cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

= \frac{- cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )} + \frac{cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( y ) + 1 + cos ( y ) + 1}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

- cos (y) + 1 + cos (y) + 1 = 2

- cos (y) + 1 + cos (y) + 1

Raggruppa termini simili

= - cos (y) + cos (y) + 1 + 1

Aggiungi elementi simili:

- cos (y) + cos (y) = 0

= 1 + 1

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( cos ( y ) + 1 ) ( - cos ( y ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + cos ( y ) ) ( 1 - cos ( y ) )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{2}{( 1 + cos ( y ) ) ( 1 - cos ( y ) )}

Espandi

(1 + cos (y)) (1 - cos (y)) : 1 - cos^{2} (y)

(1 + cos (y)) (1 - cos (y))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (y)

= 1^{2} - cos^{2} (y)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (y)

= \frac{2}{1 - cos ^{2} ( y )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (y) + sin^{2} (y)

1 - cos^{2} (y) = sin^{2} (y)

= \frac{2}{sin ^{2} ( y )}

= \frac{2}{sin ^{2} ( y )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Usare l'identità trigonometrica di base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( y )} ) ^{2}}

Semplificare

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( y )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( y )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( y )}

(\frac{1}{csc ( y )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( y )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( y )}

= \frac{2}{\frac{1}{c s c ^{2} ( y )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 csc ^{2} ( y )}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= 2 csc^{2} (y)

2 csc^{2} (y)

2 csc^{2} (y)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare cot(2x)=(cos(2x))/(sin(2x))

p ro v e cot (2 x) = \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

dimostrare sin(θ-pi/2)=-cos(θ)

p ro v e sin (θ - \frac{π}{2}) = - cos (θ)

dimostrare sec(x)-cos(x)=tan(x)*sin(x)

p ro v e sec (x) - cos (x) = tan (x) \cdot sin (x)

dimostrare cot(45)=(cos(45))/(sin(45))

p ro v e cot (4 5^{\circ}) = \frac{cos ( 4 5 ^{\circ} )}{sin ( 4 5 ^{\circ} )}

dimostrare sqrt((1-sin(x))/(1+sin(x)))=sec(x)-tan(x)

p ro v e \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = sec (x) - tan (x)