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Popolare Trigonometria >

dimostrare tan(45+x)+tan(45-x)=2sec(2x)

Soluzione

dimostrare

tan (4 5^{\circ} + x) + tan (4 5^{\circ} - x) = 2 sec (2 x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

tan (4 5^{\circ} + x) + tan (4 5^{\circ} - x) = 2 sec (2 x)

Manipolando il lato sinistro

tan (4 5^{\circ} + x) + tan (4 5^{\circ} - x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

tan (4 5^{\circ} + x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 4 5 ^{\circ} + x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} + x )}

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + cos ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} + x )}

Usa la formula della somma degli angoli:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + cos ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

Semplifica

\frac{sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + cos ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )} : \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + cos ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

sin (4 5^{\circ}) cos (x) + cos (4 5^{\circ}) sin (x) = \frac{2}{2} cos (x) + \frac{2}{2} sin (x)

sin (4 5^{\circ}) cos (x) + cos (4 5^{\circ}) sin (x)

Semplifica

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + cos (4 5^{\circ}) sin (x)

Semplifica

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

cos (4 5^{\circ}) cos (x) - sin (4 5^{\circ}) sin (x) = \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

cos (4 5^{\circ}) cos (x) - sin (4 5^{\circ}) sin (x)

Semplifica

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - sin (4 5^{\circ}) sin (x)

Semplifica

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}

Moltiplicare

\frac{2}{2} cos (x) : \frac{2 cos ( x )}{2}

\frac{2}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2}{2} sin ( x )}

Moltiplicare

\frac{2}{2} sin (x) : \frac{2 sin ( x )}{2}

\frac{2}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Moltiplicare

\frac{2}{2} cos (x) : \frac{2 cos ( x )}{2}

\frac{2}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Moltiplicare

\frac{2}{2} sin (x) : \frac{2 sin ( x )}{2}

\frac{2}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Combinare le frazioni

\frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Combinare le frazioni

\frac{2 cos ( x )}{2} + \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x ) + 2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) ) \cdot 2}{2 ( 2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) )}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Fattorizzare dal termine comune

2

= \frac{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Fattorizzare dal termine comune

2

= \frac{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{2 ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} + tan (4 5^{\circ} - x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

tan (4 5^{\circ} - x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 4 5 ^{\circ} - x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} - x )}

Usa la formula della differenza degli angoli:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - cos ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} - x )}

Usa la formula della differenza degli angoli:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - cos ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

Semplifica

\frac{sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - cos ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

\frac{sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) - cos ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

sin (4 5^{\circ}) cos (x) - cos (4 5^{\circ}) sin (x) = \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

sin (4 5^{\circ}) cos (x) - cos (4 5^{\circ}) sin (x)

Semplifica

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - cos (4 5^{\circ}) sin (x)

Semplifica

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}{cos ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( x ) + sin ( 4 5 ^{\circ} ) sin ( x )}

cos (4 5^{\circ}) cos (x) + sin (4 5^{\circ}) sin (x) = \frac{2}{2} cos (x) + \frac{2}{2} sin (x)

cos (4 5^{\circ}) cos (x) + sin (4 5^{\circ}) sin (x)

Semplifica

cos (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + sin (4 5^{\circ}) sin (x)

Semplifica

sin (4 5^{\circ}) : \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}

Moltiplicare

\frac{2}{2} cos (x) : \frac{2 cos ( x )}{2}

\frac{2}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2}{2} sin ( x )}

Moltiplicare

\frac{2}{2} sin (x) : \frac{2 sin ( x )}{2}

\frac{2}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Moltiplicare

\frac{2}{2} cos (x) : \frac{2 cos ( x )}{2}

\frac{2}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Moltiplicare

\frac{2}{2} sin (x) : \frac{2 sin ( x )}{2}

\frac{2}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Combinare le frazioni

\frac{2 cos ( x )}{2} + \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) + 2 s i n ( x )}{2}}

Combinare le frazioni

\frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) + 2 s i n ( x )}{2}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) ) \cdot 2}{2 ( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) )}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}

Fattorizzare dal termine comune

2

= \frac{2 ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}

Fattorizzare dal termine comune

2

= \frac{2 ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} + \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Semplifica

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} + \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} : \frac{2 cos ^{2} ( x ) + 2 sin ^{2} ( x )}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} + \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

cos (x) - sin (x), cos (x) + sin (x) : (cos (x) - sin (x)) (cos (x) + sin (x))

cos (x) - sin (x), cos (x) + sin (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

cos (x) - sin (x)

cos (x) + sin (x)

= (cos (x) - sin (x)) (cos (x) + sin (x))

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) + sin (x))

Per

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x) + sin (x)

\frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )} = \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )} = \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Per

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x) - sin (x)

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} = \frac{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} = \frac{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )} + \frac{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ^{2} + ( cos ( x ) - sin ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Espandi

(cos (x) + sin (x))^{2} + (cos (x) - sin (x))^{2} : 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

(cos (x) + sin (x))^{2} + (cos (x) - sin (x))^{2}

(cos (x) + sin (x))^{2} : cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) + (cos (x) - sin (x))^{2}

(cos (x) - sin (x))^{2} : cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) + cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

Semplifica

cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) + cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) : 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

cos^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) + cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

Aggiungi elementi simili:

2 cos (x) sin (x) - 2 cos (x) sin (x) = 0

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + sin^{2} (x)

Aggiungi elementi simili:

sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) + 2 sin ^{2} ( x )}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) + 2 sin ^{2} ( x )}{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) + sin ( x ) )}

Fattorizza

\frac{2 cos ^{2} ( x ) + 2 sin ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )} : \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

\frac{2 cos ^{2} ( x ) + 2 sin ^{2} ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Fattorizza

2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x) : 2 (cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

2 cos^{2} (x) + 2 sin^{2} (x)

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

= \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Semplificare

= \frac{2}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Espandi

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{2}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{2}{cos ( 2 x )}

= \frac{2}{cos ( 2 x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{2}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Semplificare

\frac{2}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 sec ( 2 x )}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= 2 sec (2 x)

2 sec (2 x)

2 sec (2 x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare cos^2(8x)-sin^2(8x)=cos(16x)

p ro v e cos^{2} (8 x) - sin^{2} (8 x) = cos (16 x)

dimostrare cos^2(2x)= 1/2+1/2 cos(4x)

p ro v e cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (4 x)

dimostrare 2sin(-t)cos(-t)=2sin(-t)cos(t)

p ro v e 2 sin (- t) cos (- t) = 2 sin (- t) cos (t)

dimostrare sin^2(α)+sin^2(α)tan^2(α)=tan^2(α)

p ro v e sin^{2} (α) + sin^{2} (α) tan^{2} (α) = tan^{2} (α)

dimostrare cos(75)=sqrt((1+cos(150))/2)

p ro v e cos (7 5^{\circ}) = \frac{1 + cos ( 15 0 ^{\circ} )}{2}