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beweisen 1+cos(t)=(sin^2(t))/(1-cos(t))

Lösung

beweisen

1 + cos (t) = \frac{sin ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )}

Wahr

Schritte zur Lösung

1 + cos (t) = \frac{sin ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sin ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )}

Vereinfache

\frac{1 - cos ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )} : cos (t) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )}

Faktorisiere

1 - cos^{2} (t) : - (cos (t) + 1) (cos (t) - 1)

1 - cos^{2} (t)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (cos^{2} (t) - 1)

Faktorisiere

cos^{2} (t) - 1 : (cos (t) + 1) (cos (t) - 1)

cos^{2} (t) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= cos^{2} (t) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (t) - 1^{2} = (cos (t) + 1) (cos (t) - 1)

= (cos (t) + 1) (cos (t) - 1)

= - (cos (t) + 1) (cos (t) - 1)

= - \frac{( cos ( t ) + 1 ) ( cos ( t ) - 1 )}{1 - cos ( t )}

Streiche

- \frac{( cos ( t ) + 1 ) ( cos ( t ) - 1 )}{1 - cos ( t )} : cos (t) + 1

- \frac{( cos ( t ) + 1 ) ( cos ( t ) - 1 )}{1 - cos ( t )}

- cos (t) + 1 = - (cos (t) - 1)

= - \frac{( cos ( t ) + 1 ) ( cos ( t ) - 1 )}{- ( cos ( t ) - 1 )}

Fasse zusammen

= \frac{( cos ( t ) + 1 ) ( cos ( t ) - 1 )}{cos ( t ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (t) - 1

= cos (t) + 1

= cos (t) + 1

= cos (t) + 1

= cos (t) + 1

= 1 + cos (t)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (3 x) = cos (x) (1 - 4 sin^{2} (x))

p ro v e tan (A) + cot (A) = \frac{2}{sin ( 2 A )}

p ro v e \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = sin (x)

p ro v e cos (θ) \cdot tan (θ) \cdot csc (θ) = 1

p ro v e \frac{1}{2} cot (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) = cot (x)