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beweisen (1+csc(θ))(1-sin(θ))=csc(θ)-sin(θ)

Lösung

beweisen

(1 + csc (θ)) (1 - sin (θ)) = csc (θ) - sin (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + csc (θ)) (1 - sin (θ)) = csc (θ) - sin (θ)

Manipuliere die linke Seite

(1 + csc (θ)) (1 - sin (θ))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + csc (θ)) (1 - sin (θ))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (1 + \frac{1}{sin ( θ )}) (1 - sin (θ))

Vereinfache

(1 + \frac{1}{sin ( θ )}) (1 - sin (θ)) : \frac{( sin ( θ ) + 1 ) ( 1 - sin ( θ ) )}{sin ( θ )}

(1 + \frac{1}{sin ( θ )}) (1 - sin (θ))

Füge

1 + \frac{1}{sin ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

1 + \frac{1}{sin ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )} (- sin (θ) + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( θ ) + 1 ) ( 1 - sin ( θ ) )}{sin ( θ )}

= \frac{( sin ( θ ) + 1 ) ( 1 - sin ( θ ) )}{sin ( θ )}

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}{sin ( θ )}

Multipliziere aus

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) : 1 - sin^{2} (θ)

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - sin^{2} (θ)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

csc (θ) - sin (θ)

Drücke mit sin, cos aus

csc (θ) - sin (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

Vereinfache

\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ) : \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

1 - sin (θ) sin (θ) = 1 - sin^{2} (θ)

1 - sin (θ) sin (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 - tan ( x )}{1 - cot ( x )} = - tan (x)

p ro v e \frac{cos ( b )}{sec ( b )} + \frac{sin ( b )}{csc ( b )} = csc^{2} (b) - cot^{2} (b)

p ro v e 1 + cot^{2} (- x) = csc^{2} (x)

p ro v e cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (cos (θ) - sin (θ))

p ro v e 5 cos^{2} (x) + 7 sin^{2} (x) - 5 = 2 sin^{2} (x)