he

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove csc^2(θ/2)= 2/(1-cos(θ))

פתרון

prove

csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

פתרון

נכון

צעדי פתרון

csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

u = \frac{θ}{2} :

נניח ש

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

הוכח ש:

נכון

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

עבוד על אגף ימין

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Rewrite using trig identities

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

= \frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

פשט את:

\frac{1}{sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

הרחב את:

2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

פתח סוגריים

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2}{2 sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

Rewrite using trig identities

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

פשט

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( u )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( u )}}

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{csc ^{2} ( u )}{1}

\frac{a}{1} = a

הפעל את החוק

= csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

csc^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( θ )}

לכן

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove sec(x)cos(x)+tan^2(x)=sec^2(x)

p ro v e sec (x) cos (x) + tan^{2} (x) = sec^{2} (x)

prove cot^2(θ)+1= 1/(sin^2(θ))

p ro v e cot^{2} (θ) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

prove 3cos(2x+pi/2)-2=6cos^2(x+pi/4)

p ro v e 3 cos (2 x + \frac{π}{2}) - 2 = 6 cos^{2} (x + \frac{π}{4})

prove cos^4(b)-sin^4(b)=cos(2b)

p ro v e cos^{4} (b) - sin^{4} (b) = cos (2 b)

prove sin^2(x)sec^2(x)=sec^2(x)-1

p ro v e sin^{2} (x) sec^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1