English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove 1/(csc(x)+1)+1/(csc(x)-1)=2sec(x)tan(x)

פתרון

prove

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1} = 2 sec (x) tan (x)

פתרון

נכון

צעדי פתרון

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1} = 2 sec (x) tan (x)

עבוד על אגף שמאל

\frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{csc ( x ) - 1}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{1}{- 1 + csc ( x )} + \frac{1}{1 + csc ( x )}

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

פשט את:

\frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{1}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

אחד את:

\frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 \cdot sin (x) = sin (x) :

הכפל

= \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{- s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

\frac{1}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

אחד את:

\frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 \cdot sin (x) = sin (x) :

הכפל

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1}{\frac{s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

= \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} + \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

- sin (x) + 1, sin (x) + 1

הכפולה המשותפת המינימלית של:

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

- sin (x) + 1, sin (x) + 1

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear either in

- sin (x) + 1

sin (x) + 1

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

sin (x) + 1

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

עבור

\frac{sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} = \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

- sin (x) + 1

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

עבור

\frac{sin ( x )}{sin ( x ) + 1} = \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 ) + sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

sin (x) (sin (x) + 1) + sin (x) (- sin (x) + 1)

הרחב את:

2 sin (x)

sin (x) (sin (x) + 1) + sin (x) (- sin (x) + 1)

sin (x) (sin (x) + 1)

הרחב את:

sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (sin (x) + 1)

a (b + c) = ab + a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = sin (x), b = sin (x), c = 1

= sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 1

= sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

פשט את:

sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x) :

הכפל

= sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x) + sin (x) (- sin (x) + 1)

sin (x) (- sin (x) + 1)

הרחב את:

- sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (- sin (x) + 1)

a (b + c) = ab + a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = sin (x), b = - sin (x), c = 1

= sin (x) (- sin (x)) + sin (x) \cdot 1

הפעל חוקי מינוס-פלוס

+ (- a) = - a

= - sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

פשט את:

- sin^{2} (x) + sin (x)

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x) :

הכפל

= sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x)

sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x)

פשט את:

2 sin (x)

sin^{2} (x) + sin (x) - sin^{2} (x) + sin (x)

sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0 :

חבר איברים דומים

= sin (x) + sin (x)

sin (x) + sin (x) = 2 sin (x) :

חבר איברים דומים

= 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Rewrite using trig identities

\frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

הרחב את:

1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

הפעל את חוק הפרש הריבועים

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:הפעל זהות פיטגורית

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

עבוד על אגף ימין

2 sec (x) tan (x)

sin, cos :

בטא באמצאות

2 sec (x) tan (x)

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} tan (x)

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= 2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

פשט את:

\frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x ) cos ( x )}

1 \cdot 2 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )}

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove 25cos^2(x)=25-25sin^2(x)

p ro v e 25 cos^{2} (x) = 25 - 25 sin^{2} (x)

prove sin(180-θ)=sin(θ)

p ro v e sin (18 0^{\circ} - θ) = sin (θ)

prove 2cot^2(x)sin^2(x)=1+2cos(x)

p ro v e 2 cot^{2} (x) sin^{2} (x) = 1 + 2 cos (x)

prove cos(x)=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)

p ro v e cos (x) = cos^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (\frac{x}{2})

prove 2sin(z)cos(z)=sin(2z)

p ro v e 2 sin (z) cos (z) = sin (2 z)