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beweisen (sec^2(θ)-1)(sin^2(θ)-1)=-sin^2(θ)

Lösung

beweisen

(sec^{2} (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - 1) = - sin^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

(sec^{2} (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - 1) = - sin^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

(sec^{2} (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - 1)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + sec^{2} (θ)) (- 1 + sin^{2} (θ))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (- 1 + sin^{2} (θ))

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (- 1 + sin^{2} (θ)) : \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) ( - 1 + sin ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (- 1 + sin^{2} (θ))

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= (\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} - 1) (sin^{2} (θ) - 1)

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} (sin^{2} (θ) - 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) ( - 1 + sin ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) ( - 1 + sin ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )}

Vereinfache

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )} : - sin^{2} (θ)

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )}

Streiche

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )} : - (- (- sin^{2} (θ) + 1) + 1)

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )}

- sin^{2} (θ) + 1 = - (sin^{2} (θ) - 1)

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) - 1 ) ( - ( - sin ^{2} ( θ ) + 1 ) + 1 )}{- ( sin ^{2} ( θ ) - 1 )}

Fasse zusammen

= - \frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{sin ^{2} ( θ ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- 1 + sin^{2} (θ)

= - (- (- sin^{2} (θ) + 1) + 1)

= - (- (- sin^{2} (θ) + 1) + 1)

Negiere die Vorzeichen

- (- (- sin^{2} (θ) + 1) + 1) = (- sin^{2} (θ) + 1) - 1

= (- sin^{2} (θ) + 1) - 1

Fasse zusammen

= - sin^{2} (θ)

= - sin^{2} (θ)

= - sin^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (θ) = \frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sin ( θ )}

p ro v e cot^{2} (x) - cos^{2} (x) = cot^{2} (x) cot (x)

p ro v e cos (θ) = - \frac{3}{4}

p ro v e sin (75) = sin (\frac{150}{2})

p ro v e sec (θ) + 1 = \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}