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Popolare Trigonometria >

dimostrare cos^4(θ)= 1/4+(cos(2θ))/2+(cos^2(2θ))/4

Soluzione

dimostrare

cos^{4} (θ) = \frac{1}{4} + \frac{cos ( 2 θ )}{2} + \frac{cos ^{2} ( 2 θ )}{4}

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

cos^{4} (θ) = \frac{1}{4} + \frac{cos ( 2 θ )}{2} + \frac{cos ^{2} ( 2 θ )}{4}

Manipolando il lato destro

\frac{1}{4} + \frac{cos ( 2 θ )}{2} + \frac{cos ^{2} ( 2 θ )}{4}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1}{4} + \frac{cos ( 2 θ )}{2} + \frac{cos ^{2} ( 2 θ )}{4}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1}{4} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2} + \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

Semplifica

\frac{1}{4} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2} + \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4} : cos^{4} (θ)

\frac{1}{4} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2} + \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

Combinare le frazioni

\frac{1}{4} + \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4} : \frac{1 + ( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + ( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

= \frac{( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2} + 1}{4} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2}

\frac{1 + ( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4} = \frac{2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2}

\frac{1 + ( 2 cos ^{2} ( θ ) - 1 ) ^{2}}{4}

Espandi

1 + (2 cos^{2} (θ) - 1)^{2} : 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

1 + (2 cos^{2} (θ) - 1)^{2}

(2 cos^{2} (θ) - 1)^{2} : 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2 cos^{2} (θ), b = 1

= (2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2}

Semplifica

(2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2} : 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

(2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 + 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2 cos^{2} (θ))^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot cos^{2} (θ) + 1

(2 cos^{2} (θ))^{2} = 4 cos^{4} (θ)

(2 cos^{2} (θ))^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (cos^{2} (θ))^{2}

(cos^{2} (θ))^{2} : cos^{4} (θ)

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= cos^{2 \cdot 2} (θ)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= cos^{4} (θ)

= 2^{2} cos^{4} (θ)

2^{2} = 4

= 4 cos^{4} (θ)

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1 = 4 cos^{2} (θ)

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) \cdot 1

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 1 = 4

= 4 cos^{2} (θ)

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

= 1 + 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

Semplifica

1 + 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1 : 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

1 + 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1

Raggruppa termini simili

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 1 + 1

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

= 4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

= \frac{4 cos ^{4} ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ ) + 2}{4}

Fattorizza

4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2 : 2 (2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1)

4 cos^{4} (θ) - 4 cos^{2} (θ) + 2

Riscrivi come

= 2 \cdot 2 cos^{4} (θ) - 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) + 2 \cdot 1

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1)

= \frac{2 ( 2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1 )}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2}

= \frac{2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2} + \frac{2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{4} ( θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1 + 2 cos ^{2} ( θ ) - 1}{2}

2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 = 2 cos^{4} (θ)

2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1 + 2 cos^{2} (θ) - 1

Raggruppa termini simili

= 2 cos^{4} (θ) - 2 cos^{2} (θ) + 2 cos^{2} (θ) + 1 - 1

Aggiungi elementi simili:

- 2 cos^{2} (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

= 2 cos^{4} (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{4} (θ)

= \frac{2 cos ^{4} ( θ )}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= cos^{4} (θ)

= cos^{4} (θ)

= cos^{4} (θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare sin(x)(tan^2(x)+1)=tan(x)sec(x)

p ro v e sin (x) (tan^{2} (x) + 1) = tan (x) sec (x)

dimostrare csc(u)=2

p ro v e csc (u) = 2

dimostrare csc(x)-cos^2(x)-csc(x)=sin(x)

p ro v e csc (x) - cos^{2} (x) - csc (x) = sin (x)

dimostrare 1-(cos^2(x))/(1+sin^2(x))=sin(s)

p ro v e 1 - \frac{cos ^{2} ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} = sin (s)

dimostrare csc(x)= 1/(sin(x))=2

p ro v e csc (x) = \frac{1}{sin ( x )} = 2