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受欢迎的三角函数 >

证明 (cos(φ)+1)/(sin(φ)+tan(φ))=cot(φ)

解答

证明

\frac{cos ( φ ) + 1}{sin ( φ ) + tan ( φ )} = cot (φ)

解答

真

求解步骤

\frac{cos ( φ ) + 1}{sin ( φ ) + tan ( φ )} = cot (φ)

调整左侧

\frac{cos ( φ ) + 1}{sin ( φ ) + tan ( φ )}

用 sin, cos 表示

\frac{1 + cos ( φ )}{sin ( φ ) + tan ( φ )}

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + cos ( φ )}{sin ( φ ) + \frac{s i n ( φ )}{c o s ( φ )}}

化简

\frac{1 + cos ( φ )}{sin ( φ ) + \frac{s i n ( φ )}{c o s ( φ )}} : \frac{cos ( φ )}{sin ( φ )}

\frac{1 + cos ( φ )}{sin ( φ ) + \frac{s i n ( φ )}{c o s ( φ )}}

化简

sin (φ) + \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )} : \frac{sin ( φ ) cos ( φ ) + sin ( φ )}{cos ( φ )}

sin (φ) + \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )}

将项转换为分式:

sin (φ) = \frac{sin ( φ ) cos ( φ )}{cos ( φ )}

= \frac{sin ( φ ) cos ( φ )}{cos ( φ )} + \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( φ ) cos ( φ ) + sin ( φ )}{cos ( φ )}

= \frac{1 + cos ( φ )}{\frac{s i n ( φ ) c o s ( φ ) + s i n ( φ )}{c o s ( φ )}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + cos ( φ ) ) cos ( φ )}{sin ( φ ) cos ( φ ) + sin ( φ )}

因式分解出通项

sin (φ)

= \frac{( 1 + cos ( φ ) ) cos ( φ )}{sin ( φ ) ( cos ( φ ) + 1 )}

约分:

1 + cos (φ)

= \frac{cos ( φ )}{sin ( φ )}

= \frac{cos ( φ )}{sin ( φ )}

= \frac{cos ( φ )}{sin ( φ )}

使用基本三角恒等式:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (φ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 tan(x)+tan(x)=0

p ro v e tan (x) + tan (x) = 0

证明 2cos^2(x)-cos(2x)=1

p ro v e 2 cos^{2} (x) - cos (2 x) = 1

证明-cot^2(x)=1-csc^2(x)

p ro v e - cot^{2} (x) = 1 - csc^{2} (x)

证明 1/(tan(2θ))=(cot^2(θ)-1)/(2cot(θ))

p ro v e \frac{1}{tan ( 2 θ )} = \frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

证明 (1-cos(θ))+sin^2(θ)=2

p ro v e (1 - cos (θ)) + sin^{2} (θ) = 2