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sin(x+pi/4)<= 1/2

Solução

sin (x + \frac{π}{4}) \leq \frac{1}{2}

Solução

- \frac{17 π}{12} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + 2 πn

Notação de intervalo

[- \frac{17 π}{12} + 2 πn, - \frac{π}{12} + 2 πn]

Decimal

- 4.45058 \dots + 2 πn \leq x \leq - 0.26179 \dots + 2 πn

Passos da solução

sin (x + \frac{π}{4}) \leq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq (x + \frac{π}{4}) \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4} and x + \frac{π}{4} \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4} : x \geq - \frac{17 π}{12} + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4}

Trocar lados

x + \frac{π}{4} \geq - π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : - π - \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \geq - π - \frac{π}{6} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

x + \frac{π}{4} \geq - π - \frac{π}{6} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq - π - \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq - π - \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq 0

= x

Simplificar

- π - \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

- π - \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= - π + 2 πn - \frac{π}{6} - \frac{π}{4}

Mínimo múltiplo comum de

6, 4 : 12

6, 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 3

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

6

ou em

4

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{6} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= - \frac{π 2}{12} - \frac{π 3}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π 3}{12}

Somar elementos similares:

- 2 π - 3 π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{12}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \geq - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \geq - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \geq - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

Simplificar

- π - \frac{5 π}{12} : - \frac{17 π}{12}

- π - \frac{5 π}{12}

Converter para fração:

π = \frac{π 12}{12}

= - \frac{π 12}{12} - \frac{5 π}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 12 - 5 π}{12}

Somar elementos similares:

- 12 π - 5 π = - 17 π

= \frac{- 17 π}{12}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{17 π}{12}

x \geq - \frac{17 π}{12} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

x + \frac{π}{4} \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

x + \frac{π}{4} \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq 0

= x

Simplificar

\frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn - \frac{π}{12}

\frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn + \frac{π}{6} - \frac{π}{4}

Mínimo múltiplo comum de

6, 4 : 12

6, 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 3

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

6

ou em

4

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{6} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplique o numerador e o denominador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 2}{12} - \frac{π 3}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π 3}{12}

Somar elementos similares:

2 π - 3 π = - π

= \frac{- π}{12}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 πn - \frac{π}{12}

x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

Combinar os intervalos

x \geq - \frac{17 π}{12} + 2 πn and x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{17 π}{12} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + 2 πn

Exemplos populares

cos(x)>(sqrt(2))/2

cos (x) > \frac{2}{2}

cos(x)<(sqrt(2))/2

cos (x) < \frac{2}{2}

cot(x)<1

cot (x) < 1

2sin(x)-1>= 0

2 sin (x) - 1 \geq 0

sin^2(x)+1/2*sin(x)>0

sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot sin (x) > 0