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Popular Trigonometria >

sec^2(x)<= 2

Solução

sec^{2} (x) \leq 2

Solução

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

Notação de intervalo

[- \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn] \cup [\frac{3 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn]

Decimal

- 0.78539 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.78539 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.92699 \dots + 2 πn

Passos da solução

sec^{2} (x) \leq 2

Expresar com seno, cosseno

sec^{2} (x) \leq 2

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} \leq 2

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} \leq 2

Para

u^{n} \leq a

, se

n

é par então

- n a \leq u \leq n a

- 2 \leq \frac{1}{cos ( x )} \leq 2

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

- 2 \leq \frac{1}{cos ( x )} and \frac{1}{cos ( x )} \leq 2

- 2 \leq \frac{1}{cos ( x )} : cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

- 2 \leq \frac{1}{cos ( x )}

Trocar lados

\frac{1}{cos ( x )} \geq - 2

Reescrever na forma geral

\frac{1}{cos ( x )} \geq - 2

Adicionar

2

a ambos os lados

\frac{1}{cos ( x )} + 2 \geq - 2 + 2

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} + 2 \geq 0

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} + 2 : \frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + 2

Converter para fração:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

\frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

\frac{1 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Encontre os sinais de

1 + 2 cos (x)

1 + 2 cos (x) = 0 : cos (x) = - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) = 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 cos (x) = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 cos (x) = - 1

2 cos (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= cos (x)

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) < 0 : cos (x) < - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) < 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 cos (x) < 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 cos (x) - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 cos (x) < - 1

2 cos (x) < - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (x) < - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= cos (x)

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (x) < - \frac{2}{2}

cos (x) < - \frac{2}{2}

cos (x) < - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) > 0 : cos (x) > - \frac{2}{2}

1 + 2 cos (x) > 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 cos (x) > 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 cos (x) - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 cos (x) > - 1

2 cos (x) > - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (x) > - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= cos (x)

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

cos (x) > - \frac{2}{2}

cos (x) > - \frac{2}{2}

cos (x) > - \frac{2}{2}

Encontre os sinais de

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Encontre pontos de singularidade

Encontre os zeros do denominador

cos (x) : cos (x) = 0

Resumir em uma tabela:

1 + 2 cos (x) cos (x) \frac{1 + 2 c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < - \frac{2}{2} - - + cos (x) = - \frac{2}{2} 0 - 0 - \frac{2}{2} < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Indefinido cos (x) > 0 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\geq 0

cos (x) < - \frac{2}{2} or cos (x) = - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

Junte intervalos que se sobrepoem

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

cos (x) < - \frac{2}{2}

cos (x) = - \frac{2}{2}

cos (x) \leq - \frac{2}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

cos (x) \leq - \frac{2}{2}

cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2 : cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2

Reescrever na forma geral

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2

Subtrair

2

de ambos os lados

\frac{1}{cos ( x )} - 2 \leq 2 - 2

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} - 2 \leq 0

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} - 2 : \frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - 2

Converter para fração:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Encontre os sinais de

1 - 2 cos (x)

1 - 2 cos (x) = 0 : cos (x) = \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - 2 cos (x) = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - 2 cos (x) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 2 cos (x) = - 1

- 2 cos (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

- 2

- 2 cos (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplificar

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplificar

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} : cos (x)

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= cos (x)

Simplificar

\frac{- 1}{- 2} : \frac{2}{2}

\frac{- 1}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{1}{2}

Racionalizar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) = \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) < 0 : cos (x) > \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) < 0

Mova

1

para o lado direito

1 - 2 cos (x) < 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - 2 cos (x) - 1 < 0 - 1

Simplificar

- 2 cos (x) < - 1

- 2 cos (x) < - 1

Multiplicar ambos os lados por

- 1

- 2 cos (x) < - 1

Multiplicar ambos os lados por -1 (inverte a desigualdade)

(- 2 cos (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

Simplificar

2 cos (x) > 1

2 cos (x) > 1

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (x) > 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= cos (x)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

cos (x) > \frac{2}{2}

cos (x) > \frac{2}{2}

cos (x) > \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) > 0 : cos (x) < \frac{2}{2}

1 - 2 cos (x) > 0

Mova

1

para o lado direito

1 - 2 cos (x) > 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - 2 cos (x) - 1 > 0 - 1

Simplificar

- 2 cos (x) > - 1

- 2 cos (x) > - 1

Multiplicar ambos os lados por

- 1

- 2 cos (x) > - 1

Multiplicar ambos os lados por -1 (inverte a desigualdade)

(- 2 cos (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

Simplificar

2 cos (x) < 1

2 cos (x) < 1

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (x) < 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 cos ( x )}{2} : cos (x)

\frac{2 cos ( x )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= cos (x)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

cos (x) < \frac{2}{2}

cos (x) < \frac{2}{2}

cos (x) < \frac{2}{2}

Encontre os sinais de

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Encontre pontos de singularidade

Encontre os zeros do denominador

cos (x) : cos (x) = 0

Resumir em uma tabela:

1 - 2 cos (x) cos (x) \frac{1 - 2 c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Indefinido 0 < cos (x) < \frac{2}{2} + + + cos (x) = \frac{2}{2} 0 + 0 cos (x) > \frac{2}{2} - + -

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

\leq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{2}{2} or cos (x) > \frac{2}{2}

Junte intervalos que se sobrepoem

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{2}{2} or cos (x) > \frac{2}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

cos (x) < 0

cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{2}{2}

A união de dois intervalos é o conjunto de números que está em algum dos intervalos

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{2}{2}

cos (x) > \frac{2}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

Combinar os intervalos

(cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0) and (cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2})

Junte intervalos que se sobrepoem

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0 and cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) > 0

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) \leq - \frac{2}{2} or cos (x) \geq \frac{2}{2}

cos (x) \leq - \frac{2}{2} : \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{2}{2}

Para

cos (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

então

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

Simplificar

2 π - arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{5 π}{4}

2 π - arccos (- \frac{2}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{3 π}{4}

Simplificar

2 π - \frac{3 π}{4}

Converter para fração:

2 π = \frac{2 π 4}{4}

= \frac{2 π 4}{4} - \frac{3 π}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 4 - 3 π}{4}

2 π 4 - 3 π = 5 π

2 π 4 - 3 π

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= 8 π - 3 π

Somar elementos similares:

8 π - 3 π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{4}

= \frac{5 π}{4}

\frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{2}{2} : - \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{2}{2}

Para

cos (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (\frac{2}{2}) : - \frac{π}{4}

- arccos (\frac{2}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{4}

Simplificar

arccos (\frac{2}{2}) : \frac{π}{4}

arccos (\frac{2}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Combinar os intervalos

\frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn or - \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{4} + 2 πn

Exemplos populares

2cos(x)<1

2 cos (x) < 1

cos(x)-sin(x)>= 0

cos (x) - sin (x) \geq 0

sin(x)<-(sqrt(3))/2

sin (x) < - \frac{3}{2}

(sin(x)(2cos(x)+1))/(sin(x)+cos(x))<0

\frac{sin ( x ) ( 2 cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) + cos ( x )} < 0

2sin^2(x)+3sin(x)+1<0

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) + 1 < 0