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Beliebt Trigonometrie >

1/(cos(x))<= 2,-pi<= x<= pi

Lösung

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2, - π \leq x \leq π

Lösung

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

[- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Dezimale

- 1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2, - π \leq x \leq π

Rewrite in standard form

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

\frac{1}{cos ( x )} - 2 \leq 2 - 2

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} - 2 \leq 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} - 2 : \frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - 2

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Finde die Vorzeichen von

1 - 2 cos (x)

1 - 2 cos (x) = 0 : cos (x) = \frac{1}{2}

1 - 2 cos (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 cos (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 cos (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 2 cos (x) = - 1

- 2 cos (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 cos (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

1 - 2 cos (x) < 0 : cos (x) > \frac{1}{2}

1 - 2 cos (x) < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 cos (x) < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 cos (x) - 1 < 0 - 1

Vereinfache

- 2 cos (x) < - 1

- 2 cos (x) < - 1

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- 2 cos (x) < - 1

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- 2 cos (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

Vereinfache

2 cos (x) > 1

2 cos (x) > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (x) > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( x )}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

cos (x) > \frac{1}{2}

cos (x) > \frac{1}{2}

1 - 2 cos (x) > 0 : cos (x) < \frac{1}{2}

1 - 2 cos (x) > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 cos (x) > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 cos (x) - 1 > 0 - 1

Vereinfache

- 2 cos (x) > - 1

- 2 cos (x) > - 1

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- 2 cos (x) > - 1

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- 2 cos (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

Vereinfache

2 cos (x) < 1

2 cos (x) < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (x) < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( x )}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

cos (x) < \frac{1}{2}

cos (x) < \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) : cos (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

1 - 2 cos (x) cos (x) \frac{1 - 2 c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Unbestimmt 0 < cos (x) < \frac{1}{2} + + + cos (x) = \frac{1}{2} 0 + 0 cos (x) > \frac{1}{2} - + -

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{1}{2} or cos (x) > \frac{1}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{1}{2} or cos (x) > \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) < 0

oder

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

cos (x) < 0 or cos (x) = \frac{1}{2}

oder

cos (x) > \frac{1}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{1}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{1}{2}

cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{1}{2}

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Vereinfache

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Addiere gleiche Elemente:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{1}{2}

Für

cos (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Vereinfache

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or - \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(x)>0.5

sin (x) > 0.5

2cos^2(x)-3cos(x)-2>= 0

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) - 2 \geq 0

cos((x-45))< 1/2 ,0<= x<= 360

cos ((x - 45)^{\circ}) < \frac{1}{2}, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

cos(x)<= (sqrt(2))/2

cos (x) \leq \frac{2}{2}

cos(φ)<= (sqrt(2))/2

cos (φ) \leq \frac{2}{2}