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人気のある三角関数 >

((4*cos^2(x)-3))/((sin(x)+cos(x)+5))<0

解

\frac{( 4 \cdot cos ^{2} ( x ) - 3 )}{( sin ( x ) + cos ( x ) + 5 )} < 0

解

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

+2

区間表記

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

十進法表記

0.52359 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn or 3.66519 \dots + 2 πn < x < 5.75958 \dots + 2 πn

解答ステップ

\frac{4 cos ^{2} ( x ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

次の恒等を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

このため

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

簡素化

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} : \frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

拡張

4 (1 - sin^{2} (x)) - 3 : - 4 sin^{2} (x) + 1

4 (1 - sin^{2} (x)) - 3

拡張

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 4 - 4 sin^{2} (x) - 3

簡素化

4 - 4 sin^{2} (x) - 3 : - 4 sin^{2} (x) + 1

4 - 4 sin^{2} (x) - 3

条件のようなグループ

= - 4 sin^{2} (x) + 4 - 3

数を足す/引く:

4 - 3 = 1

= - 4 sin^{2} (x) + 1

= - 4 sin^{2} (x) + 1

= \frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

以下の周期性:

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} : 2 π

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

は以下の関数と周期で構成されている:

sin (x)

以下の周期性を伴う:

2 π

複合周期性は:

= 2 π

以下の

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

のゼロと未定義ポイントを求める

0 \leq x < 2 π

ゼロを求めるには, 不等式をゼロに設定する

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

置換で解く

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

仮定:

sin (x) = u

- 4 u^{2} + 1 = 0

- 4 u^{2} + 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

- 4 u^{2} + 1 = 0

1

を右側に移動します

- 4 u^{2} + 1 = 0

両辺から

1

を引く

- 4 u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

- 4 u^{2} = - 1

- 4 u^{2} = - 1

以下で両辺を割る

- 4

- 4 u^{2} = - 1

以下で両辺を割る

- 4

\frac{- 4 u ^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}

簡素化

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

x^{2} = f (a)

の場合, 解は

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

数を因数に分解する:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

規則を適用

1 = 1

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

簡素化

\frac{1}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

数を因数に分解する:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

規則を適用

1 = 1

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

以下の一般解

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

以下の一般解

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

範囲の解答

0 \leq x < 2 π

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

未定義ポイントを求める:

解なし

分母のゼロを求める

sin (x) + cos (x) + 5 = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

sin (x) + cos (x) + 5

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

書き換え

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

次の自明恒等式を使用する:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

次の自明恒等式を使用する:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

角の和の公式を使用する:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 5 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

5

を右側に移動します

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

両辺から

5

を引く

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 5 = 0 - 5

簡素化

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

以下で両辺を割る

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

以下で両辺を割る

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 5}{2}

簡素化

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 5}{2}

簡素化

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

共通因数を約分する:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

簡素化

\frac{- 5}{2} : - \frac{5 2}{2}

\frac{- 5}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5}{2}

有理化する

- \frac{5}{2} : - \frac{5 2}{2}

- \frac{5}{2}

共役で乗じる

\frac{2}{2}

= - \frac{5 2}{2 2}

22 = 2

22

累乗根の規則を適用する:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{5 2}{2}

= - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

以下の解はない : x \in R

\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}

区間を特定する

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} < x < 2 π

表で要約する:

- 4 sin^{2} (x) + 1 sin (x) + cos (x) + 5 \frac{- 4 s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ( x ) + c o s ( x ) + 5} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{6} + + + x = \frac{π}{6} 0 + 0 \frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6} - + - x = \frac{5 π}{6} 0 + 0 \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{6} + + + x = \frac{7 π}{6} 0 + 0 \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6} - + - x = \frac{11 π}{6} 0 + 0 \frac{11 π}{6} < x < 2 π + + + x = 2 π + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

< 0

\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6} or \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}

以下の周期性を適用する:

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

人気の例

1/2 <= sin(x),cos(x)<= (sqrt(2))/2

\frac{1}{2} \leq sin (x), cos (x) \leq \frac{2}{2}

sin (θ) \leq \frac{π}{6}

tan(x)>= sin(x)

tan (x) \geq sin (x)

1 \leq tan (x)

sin (9 x^{2}) > 0