English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

Решение

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

Решение

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Обозначение интервала

[- \frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn] \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{4} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

десятичными цифрами

- 0.78539 \dots + 2 πn \leq x \leq 0.78539 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x \leq 2.35619 \dots + 2 πn or 3.92699 \dots + 2 πn \leq x < 4.71238 \dots + 2 πn

Шаги решения

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

Используйте следующую тождественность:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Поэтому

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

\frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

Упростить

\frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 1}{cos ( x )} : \frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

\frac{2 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 1}{cos ( x )}

Расширить

2 (1 - cos^{2} (x)) - 1 : - 2 cos^{2} (x) + 1

2 (1 - cos^{2} (x)) - 1

Расширить

2 (1 - cos^{2} (x)) : 2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= 2 - 2 cos^{2} (x) - 1

Упростить

2 - 2 cos^{2} (x) - 1 : - 2 cos^{2} (x) + 1

2 - 2 cos^{2} (x) - 1

Сгруппируйте похожие слагаемые

= - 2 cos^{2} (x) + 2 - 1

Прибавьте/Вычтите числа:

2 - 1 = 1

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= \frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

\frac{- 2 cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )} \leq 0

Допустим:

u = cos (x)

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u} \leq 0

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u} \leq 0 : - \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u} \leq 0

коэффициент

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u} : \frac{- ( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u}

\frac{- 2 u ^{2} + 1}{u}

коэффициент

- 2 u^{2} + 1 : - (2 u + 1) (2 u - 1)

- 2 u^{2} + 1

Убрать общее значение

- 1

= - (2 u^{2} - 1)

коэффициент

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Перепишите

2 u^{2} - 1

как

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Примените правило радикалов:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Перепишите

1

как

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Примените правило возведения в степень:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= - (2 u + 1) (2 u - 1)

= \frac{- ( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u}

\frac{- ( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u} \leq 0

Умножьте обе части на

- 1

(обратите неравенство)

\frac{( - ( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 ) ) ( - 1 )}{u} \geq 0 \cdot (- 1)

После упрощения получаем

\frac{( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u} \geq 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

\frac{( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u}

Найдите признаки

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

2 u = - 1

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Упростите

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Отмените общий множитель:

2

= u

Упростите

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Рационализируйте

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Умножить на сопряженное

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Примените правило радикалов:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

2 u < - 1

2 u < - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Упростите

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Отмените общий множитель:

2

= u

Упростите

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Рационализируйте

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Умножить на сопряженное

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Примените правило радикалов:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

2 u > - 1

2 u > - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Упростите

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Отмените общий множитель:

2

= u

Упростите

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Рационализируйте

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Умножить на сопряженное

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Примените правило радикалов:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

Найдите признаки

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

2 u = 1

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Упростите

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Отмените общий множитель:

2

= u

Упростите

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Умножить на сопряженное

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Примените правило радикалов:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

2 u < 1

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Упростите

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Отмените общий множитель:

2

= u

Упростите

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Умножить на сопряженное

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Примените правило радикалов:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

2 u > 1

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Упростите

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Отмените общий множитель:

2

= u

Упростите

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Умножить на сопряженное

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Примените правило радикалов:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

Найдите признаки

u

u = 0

u < 0

u > 0

Найдите точки сингулярности

Найдите нули знаменателя

u : u = 0

Свести в таблицу:

2 u + 1 2 u - 1 u \frac{( 2 u + 1 ) ( 2 u - 1 )}{u} u < - \frac{2}{2} - - - - u = - \frac{2}{2} 0 - - 0 - \frac{2}{2} < u < 0 + - - + u = 0 + - 0 Неопределенный 0 < u < \frac{2}{2} + - + - u = \frac{2}{2} + 0 + 0 u > \frac{2}{2} + + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\geq 0

u = - \frac{2}{2} or - \frac{2}{2} < u < 0 or u = \frac{2}{2} or u > \frac{2}{2}

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u = \frac{2}{2} or u > \frac{2}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u = - \frac{2}{2}

либо

- \frac{2}{2} < u < 0

- \frac{2}{2} \leq u < 0

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

- \frac{2}{2} \leq u < 0

либо

u = \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u = \frac{2}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u = \frac{2}{2}

либо

u > \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq u < 0 or u \geq \frac{2}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

- \frac{2}{2} \leq cos (x) < 0 or cos (x) \geq \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} \leq cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- \frac{2}{2} \leq cos (x) < 0

Если

a \leq u < b,

то

a \leq u and u < b

- \frac{2}{2} \leq cos (x) and cos (x) < 0

- \frac{2}{2} \leq cos (x) : - \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn

- \frac{2}{2} \leq cos (x)

Поменяйте стороны

cos (x) \geq - \frac{2}{2}

Для

cos (x) \geq a

, если

- 1 < a < 1

, то

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Упростите

- arccos (- \frac{2}{2}) : - \frac{3 π}{4}

- arccos (- \frac{2}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{3 π}{4}

Упростите

arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

- \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Для

cos (x) < a

, если

- 1 < a \leq 1

, то

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Упростите

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Упростите

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

После упрощения получаем

2 π - \frac{π}{2}

Преобразуйте элемент в дробь:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Добавьте похожие элементы:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Объедините интервалы

- \frac{3 π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{2}{2} : - \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

cos (x) \geq \frac{2}{2}

Для

cos (x) \geq a

, если

- 1 < a < 1

, то

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{2}{2}) + 2 πn

Упростите

- arccos (\frac{2}{2}) : - \frac{π}{4}

- arccos (\frac{2}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{4}

Упростите

arccos (\frac{2}{2}) : \frac{π}{4}

arccos (\frac{2}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arccos (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Объедините интервалы

(\frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn) or - \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

- \frac{π}{4} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn \leq x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

Решение

Решение

Популярные примеры