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Popolare Trigonometria >

cos(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

Soluzione

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Soluzione

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn] \cup [\frac{2 π}{3} + 2 πn, π + 2 πn]

Decimale

0.90455 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.04719 \dots + 2 πn or 2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 3.14159 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

cos (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

cos (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

cos (x) \leq sin^{2} (x) : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq sin^{2} (x)

Spostare

sin^{2} (x)

a sinistra dell'equazione

cos (x) \leq sin^{2} (x)

Sottrarre

sin^{2} (x)

da entrambi i lati

cos (x) - sin^{2} (x) \leq sin^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

cos (x) - sin^{2} (x) \leq 0

Usare l'identità seguente:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Quindi

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

cos (x) - (1 - cos^{2} (x)) \leq 0

Semplificare

cos (x) - 1 + cos^{2} (x) \leq 0

Sia:

u = cos (x)

u - 1 + u^{2} \leq 0

u - 1 + u^{2} \leq 0 : \frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

u - 1 + u^{2} \leq 0

Completa il quadrato

u - 1 + u^{2} : (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

u - 1 + u^{2}

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c

u^{2} + u - 1

Scrivi

u^{2} + u - 1

in forma:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

2 a = 1 : a = \frac{1}{2}

2 a = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 a = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

a = \frac{1}{2}

a = \frac{1}{2}

Somma e sottrai

(\frac{1}{2})^{2}

u^{2} + u - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} + 1 u + (\frac{1}{2})^{2} = (u + \frac{1}{2})^{2}

(u + \frac{1}{2})^{2} - 1 - (\frac{1}{2})^{2}

Semplificare

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

Spostare

\frac{5}{4}

a destra dell'equazione

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \leq 0

Aggiungi

\frac{5}{4}

ad entrambi i lati

(u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \leq 0 + \frac{5}{4}

Semplificare

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{5}{4}

Per

u^{n} \leq a

, se

n

è pari allora

- n a \leq u \leq n a

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} and u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2} : u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{4} \leq u + \frac{1}{2}

Scambia i lati

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{4}

Semplifica

\frac{5}{4} : \frac{5}{2}

\frac{5}{4}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{5}{2}

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

Spostare

\frac{1}{2}

a destra dell'equazione

u + \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2}

Sottrarre

\frac{1}{2}

da entrambi i lati

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Semplificare

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Semplificare

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} : u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Aggiungi elementi simili:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \geq 0

= u

Semplificare

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2} : \frac{- 5 - 1}{2}

- \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4} : u \leq \frac{5 - 1}{2}

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

Spostare

\frac{1}{2}

a destra dell'equazione

u + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}

Sottrarre

\frac{1}{2}

da entrambi i lati

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Semplificare

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Semplificare

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} : u

u + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Aggiungi elementi simili:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \leq 0

= u

Semplificare

\frac{5}{2} - \frac{1}{2} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{5}{2} - \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

Combina gli intervalli

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

u \geq \frac{- 5 - 1}{2} and u \leq \frac{5 - 1}{2}

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

u \geq \frac{- 5 - 1}{2}

u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq u \leq \frac{5 - 1}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x) :

Vero per tutti

x \in R

\frac{- 5 - 1}{2} \leq cos (x)

Scambia i lati

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2}

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \geq \frac{- 5 - 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \geq \frac{- 5 - 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2} : arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{5 - 1}{2}

Per

cos (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Combina gli intervalli

Vero per tutti x \in R and arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

Sia:

u = sin (x)

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Riscrivere in forma standard

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

Sottrarre

\frac{3}{2} u

da entrambi i lati

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

Semplificare

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

Moltiplica entrambi i lati per

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

Fattorizza

2 u^{2} - 3 u : u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u - 1 \cdot 2 3)

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

u (2 u - 3)

Trova i segni di

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trova i segni di

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

2 u = 3

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Semplificare

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 < 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Semplificare

2 u < 3

2 u < 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Semplificare

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 > 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Semplificare

2 u > 3

2 u > 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Semplificare

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Riassumere in una tabella:

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = 0

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq u < \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

Scambia i lati

sin (x) \geq 0

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

Semplificare

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Semplificare

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Semplificare

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

Semplificare

- π - \frac{π}{3}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

Aggiungi elementi simili:

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

Semplificare

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Combina gli intervalli

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Combina gli intervalli

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

Unire gli intervalli sovrapposti

arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Esempi popolari

sin(x)= 1/(sqrt(5))\land cos(x)<0

sin (x) = \frac{1}{5} and cos (x) < 0

cot(θ)<0\land sec(θ)>0

cot (θ) < 0 and sec (θ) > 0

6sin(x)0<= x<= (3pi)/2

6 sin (x) 0 \leq x \leq \frac{3 π}{2}

-1<=-cos(2x)<= 1

- 1 \leq - cos (2 x) \leq 1

0<= 2sin(3x)+1<2pi

0 \leq 2 sin (3 x) + 1 < 2 π