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Beliebt Trigonometrie >

3sin(x)+4cos(x)=5

Lösung

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

Lösung

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Grad

x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

Subtrahiere

4 cos (x)

von beiden Seiten

3 sin (x) = 5 - 4 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (x))^{2} = (5 - 4 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(5 - 4 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

9 sin^{2} (x) - 25 + 40 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

- 25 - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 25 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 25 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 25 + 9 = - 16

= 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

= 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

= 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 16

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 16 - 25 u^{2} + 40 u = 0

- 16 - 25 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{4}{5}

- 16 - 25 u^{2} + 40 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 40 u - 16 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 25 u^{2} + 40 u - 16 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 25, b = 40, c = - 16

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 16 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 16 )}{2 ( - 25 )}

4 0^{2} - 4 (- 25) (- 16) = 0

4 0^{2} - 4 (- 25) (- 16)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 25 \cdot 16 = 1600

= 4 0^{2} - 1600

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1600

Subtrahiere die Zahlen:

1600 - 1600 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 40}{2 ( - 25 )}

\frac{- 40}{2 ( - 25 )} = \frac{4}{5}

\frac{- 40}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 40}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 40}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{40}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{4}{5}

u = \frac{4}{5}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = \frac{4}{5}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{4}{5}

cos (x) = \frac{4}{5}

cos (x) = \frac{4}{5} : x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{4}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{4}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + 4 cos (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

5 = 5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 sin (x) + 4 cos (x) = 5

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + 4 cos (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

1.4 = 5

\Rightarrow Falsch

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sinh^2(x)-5cosh(x)=-7

sinh^{2} (x) - 5 cosh (x) = - 7

(1-cos(x))(2-sin(x))=0

(1 - cos (x)) (2 - sin (x)) = 0

cos^2(x)=((8k-9))/2

cos^{2} (x) = \frac{( 8 k - 9 )}{2}

5sin(2x)=9tan(x)

5 sin (2 x) = 9 tan (x)

-2sin^2(3x)=cos(3x)-2

- 2 sin^{2} (3 x) = cos (3 x) - 2