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Beliebt Trigonometrie >

sec^2(x)-1= 1/(cot(x))

Lösung

sec^{2} (x) - 1 = \frac{1}{cot ( x )}

Lösung

x = \frac{π}{4} + πn

Grad

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec^{2} (x) - 1 = \frac{1}{cot ( x )}

Quadriere beide Seiten

(sec^{2} (x) - 1)^{2} = (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Subtrahiere

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

von beiden Seiten

(sec^{2} (x) - 1)^{2} - \frac{1}{cot ^{2} ( x )} = 0

Vereinfache

(sec^{2} (x) - 1)^{2} - \frac{1}{cot ^{2} ( x )} : \frac{cot ^{2} ( x ) ( sec ^{2} ( x ) - 1 ) ^{2} - 1}{cot ^{2} ( x )}

(sec^{2} (x) - 1)^{2} - \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

(sec^{2} (x) - 1)^{2} = \frac{( sec ^{2} ( x ) - 1 ) ^{2} cot ^{2} ( x )}{cot ^{2} ( x )}

= \frac{( sec ^{2} ( x ) - 1 ) ^{2} cot ^{2} ( x )}{cot ^{2} ( x )} - \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( sec ^{2} ( x ) - 1 ) ^{2} cot ^{2} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )}

\frac{cot ^{2} ( x ) ( sec ^{2} ( x ) - 1 ) ^{2} - 1}{cot ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cot^{2} (x) (sec^{2} (x) - 1)^{2} - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + (- 1 + sec^{2} (x))^{2} cot^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

sec^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)

= - 1 + (tan^{2} (x))^{2} cot^{2} (x)

(tan^{2} (x))^{2} = tan^{4} (x)

(tan^{2} (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= tan^{2 \cdot 2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= tan^{4} (x)

= - 1 + tan^{4} (x) cot^{2} (x)

- 1 + cot^{2} (x) tan^{4} (x) = 0

Faktorisiere

- 1 + cot^{2} (x) tan^{4} (x) : (tan^{2} (x) cot (x) + 1) (tan^{2} (x) cot (x) - 1)

- 1 + cot^{2} (x) tan^{4} (x)

Schreibe

- 1 + cot^{2} (x) tan^{4} (x)

um:

- 1 + (cot (x) tan^{2} (x))^{2}

- 1 + cot^{2} (x) tan^{4} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

tan^{4} (x) = (tan^{2} (x))^{2}

= - 1 + cot^{2} (x) (tan^{2} (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

cot^{2} (x) (tan^{2} (x))^{2} = (cot (x) tan^{2} (x))^{2}

= - 1 + (cot (x) tan^{2} (x))^{2}

= - 1 + (cot (x) tan^{2} (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

- 1 + (cot (x) tan^{2} (x))^{2} = (cot (x) tan^{2} (x) + 1) (cot (x) tan^{2} (x) - 1)

= (cot (x) tan^{2} (x) + 1) (cot (x) tan^{2} (x) - 1)

(tan^{2} (x) cot (x) + 1) (tan^{2} (x) cot (x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

tan^{2} (x) cot (x) + 1 = 0 or tan^{2} (x) cot (x) - 1 = 0

tan^{2} (x) cot (x) + 1 = 0 : x = \frac{3 π}{4} + πn

tan^{2} (x) cot (x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cot (x) tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= 1 + cot (x) (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

cot (x) (\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ( x )}

cot (x) (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )} cot (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cot ( x )}{cot ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cot (x) = cot (x)

= \frac{cot ( x )}{cot ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cot (x)

= \frac{1}{cot ( x )}

= 1 + \frac{1}{cot ( x )}

1 + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

cot (x)

1 + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

cot (x)

1 \cdot cot (x) + \frac{1}{cot ( x )} cot (x) = 0 \cdot cot (x)

Vereinfache

1 \cdot cot (x) + \frac{1}{cot ( x )} cot (x) = 0 \cdot cot (x)

Vereinfache

1 \cdot cot (x) : cot (x)

1 \cdot cot (x)

Multipliziere:

1 \cdot cot (x) = cot (x)

= cot (x)

Vereinfache

\frac{1}{cot ( x )} cot (x) : 1

\frac{1}{cot ( x )} cot (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cot ( x )}{cot ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cot (x)

= 1

Vereinfache

0 \cdot cot (x) : 0

0 \cdot cot (x)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

cot (x) + 1 = 0

cot (x) + 1 = 0

cot (x) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cot (x) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cot (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

cot (x) = - 1

cot (x) = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

cot (x) = 0

Nimm den/die Nenner von

1 + \frac{1}{cot ( x )}

und vergleiche mit Null

cot (x) = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

cot (x) = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

cot (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cot (x) = - 1

cot (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

tan^{2} (x) cot (x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

tan^{2} (x) cot (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cot (x) tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 1 + cot (x) (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

cot (x) (\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ( x )}

cot (x) (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )} cot (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cot ( x )}{cot ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cot (x) = cot (x)

= \frac{cot ( x )}{cot ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cot (x)

= \frac{1}{cot ( x )}

= - 1 + \frac{1}{cot ( x )}

- 1 + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

cot (x)

- 1 + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

cot (x)

- 1 \cdot cot (x) + \frac{1}{cot ( x )} cot (x) = 0 \cdot cot (x)

Vereinfache

- 1 \cdot cot (x) + \frac{1}{cot ( x )} cot (x) = 0 \cdot cot (x)

Vereinfache

- 1 \cdot cot (x) : - cot (x)

- 1 \cdot cot (x)

Multipliziere:

1 \cdot cot (x) = cot (x)

= - cot (x)

Vereinfache

\frac{1}{cot ( x )} cot (x) : 1

\frac{1}{cot ( x )} cot (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cot ( x )}{cot ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cot (x)

= 1

Vereinfache

0 \cdot cot (x) : 0

0 \cdot cot (x)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- cot (x) + 1 = 0

- cot (x) + 1 = 0

- cot (x) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- cot (x) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

- cot (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- cot (x) = - 1

- cot (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- cot (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- cot ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

cot (x) = 1

cot (x) = 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

cot (x) = 0

Nimm den/die Nenner von

- 1 + \frac{1}{cot ( x )}

und vergleiche mit Null

cot (x) = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

cot (x) = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

cot (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cot (x) = 1

cot (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{4} + πn, x = \frac{π}{4} + πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sec^{2} (x) - 1 = \frac{1}{cot ( x )}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{4} + πn :

Falsch

\frac{3 π}{4} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{4} + π 1

Setze

x = \frac{3 π}{4} + π 1

sec^{2} (x) - 1 = \frac{1}{cot ( x )}

ein, um zu lösen

sec^{2} (\frac{3 π}{4} + π 1) - 1 = \frac{1}{cot ( \frac{3 π}{4} + π 1 )}

Fasse zusammen

1 = - 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{4} + πn :

Wahr

\frac{π}{4} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{4} + π 1

Setze

x = \frac{π}{4} + π 1

sec^{2} (x) - 1 = \frac{1}{cot ( x )}

ein, um zu lösen

sec^{2} (\frac{π}{4} + π 1) - 1 = \frac{1}{cot ( \frac{π}{4} + π 1 )}

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

x = \frac{π}{4} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

4cos(2x)-3cos(x)+1=0

4 cos (2 x) - 3 cos (x) + 1 = 0

2tan^4(x)-tan^2(x)-15=0

2 tan^{4} (x) - tan^{2} (x) - 15 = 0

cos(x)=-sqrt(1/2)

cos (x) = - \frac{1}{2}

6cos(θ)=-6(1+cos(θ))

6 cos (θ) = - 6 (1 + cos (θ))

2sin^2(x)+5sin(x)+3=0

2 sin^{2} (x) + 5 sin (x) + 3 = 0