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Popular Trigonometria >

(1+cos(x))(1+cos(2x))= 1/4

Solução

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

Solução

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

Graus

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 7 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 28 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 14 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

(1 + cos (x)) (1 + cos (2 x)) = \frac{1}{4}

Subtrair

\frac{1}{4}

de ambos os lados

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} = 0

Simplificar

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4} : \frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4}

cos (2 x) + cos (x) + cos (x) cos (2 x) + \frac{3}{4}

Converter para fração:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 4}{4}, cos (x) = \frac{cos ( x ) 4}{4}, cos (x) cos (2 x) = \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) 4}{4}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) \cdot 4}{4} + \frac{cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4 + cos ( x ) \cdot 4 + cos ( x ) cos ( 2 x ) \cdot 4 + 3}{4}

\frac{4 cos ( 2 x ) + 4 cos ( x ) + 4 cos ( x ) cos ( 2 x ) + 3}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (x) cos (2 x) + 3 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

3 + 4 cos (2 x) + 4 cos (x) + 4 cos (2 x) cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

Simplificar

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) : 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

= 3 + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) + 4 cos (x) + 4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Expandir

4 (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{2} (x) - 4

4 (2 cos^{2} (x) - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Simplificar

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (x) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) - 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 8 cos^{2} (x) - 4

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x)

Expandir

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 4 cos (x) \cdot 2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) \cdot 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

Simplificar

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x) : 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) - 4 \cdot 1 \cdot cos (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x) = 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 2 cos^{2} (x) cos (x)

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 8 cos^{2 + 1} (x)

Somar:

2 + 1 = 3

= 8 cos^{3} (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x) = 4 cos (x)

4 \cdot 1 \cdot cos (x)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

= 3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

Simplificar

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) : 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

3 + 8 cos^{2} (x) - 4 + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x)

Agrupar termos semelhantes

= 8 cos^{2} (x) + 4 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 4 cos (x) + 3 - 4

Somar elementos similares:

4 cos (x) - 4 cos (x) = 0

= 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) + 3 - 4

Somar/subtrair:

3 - 4 = - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

= 8 cos^{3} (x) + 8 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + 8 cos^{2} (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

- 1 + 8 u^{2} + 8 u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 = 0

Fatorar

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 1, a_{n} = 8

Os divisores de

a_{0} : 1,

Os divisores de

a_{n} : 1, 2, 4, 8

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

- \frac{1}{2}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

2 u + 1

= (2 u + 1) \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} : \frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

e o divisor

2 u + 1 : \frac{8 u ^{3}}{2 u} = 4 u^{2}

Quociente = 4 u^{2}

Multiplicar

2 u + 1

por

4 u^{2} : 8 u^{3} + 4 u^{2}

Subtrair

8 u^{3} + 4 u^{2}

8 u^{3} + 8 u^{2} - 1

para obter um novo resto

Resto = 4 u^{2} - 1

Portanto

\frac{8 u ^{3} + 8 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

4 u^{2} - 1

e o divisor

2 u + 1 : \frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

Quociente = 2 u

Multiplicar

2 u + 1

por

2 u : 4 u^{2} + 2 u

Subtrair

4 u^{2} + 2 u

4 u^{2} - 1

para obter um novo resto

Resto = - 2 u - 1

Portanto

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u + 1} = 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} : \frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

- 2 u - 1

e o divisor

2 u + 1 : \frac{- 2 u}{2 u} = - 1

Quociente = - 1

Multiplicar

2 u + 1

por

- 1 : - 2 u - 1

Subtrair

- 2 u - 1

- 2 u - 1

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{- 2 u - 1}{2 u + 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

(2 u + 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

2 u + 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Resolver

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Resolver

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Somar:

4 + 16 = 20

= 20

Decomposição em fatores primos de

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

dividida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

dividida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

Fatorar

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 + 25

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

Fatorar

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 - 25

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

As soluções são

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.25663 \dots + 2 πn, x = 2.51327 \dots + 2 πn, x = - 2.51327 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

tan^4(x)-2sec^2(x)+3=0

tan^{4} (x) - 2 sec^{2} (x) + 3 = 0

tan(x)=-5/3

tan (x) = - \frac{5}{3}

3sin(θ)+4cos(θ)=3

3 sin (θ) + 4 cos (θ) = 3

cos(x)=(-5)/(13)

cos (x) = \frac{- 5}{13}

1=3cos(2θ)

1 = 3 cos (2 θ)