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sin(φ)-cos(φ)=sin(φ)tan(φ)

Lösung

sin (φ) - cos (φ) = sin (φ) tan (φ)

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r φ \in R

Schritte zur Lösung

sin (φ) - cos (φ) = sin (φ) tan (φ)

Subtrahiere

sin (φ) tan (φ)

von beiden Seiten

sin (φ) - cos (φ) - sin (φ) tan (φ) = 0

Drücke mit sin, cos aus

- cos (φ) + sin (φ) - sin (φ) tan (φ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - cos (φ) + sin (φ) - sin (φ) \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )}

Vereinfache

- cos (φ) + sin (φ) - sin (φ) \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )} : \frac{- cos ^{2} ( φ ) + sin ( φ ) cos ( φ ) - sin ^{2} ( φ )}{cos ( φ )}

- cos (φ) + sin (φ) - sin (φ) \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )}

sin (φ) \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )} = \frac{sin ^{2} ( φ )}{cos ( φ )}

sin (φ) \frac{sin ( φ )}{cos ( φ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( φ ) sin ( φ )}{cos ( φ )}

sin (φ) sin (φ) = sin^{2} (φ)

sin (φ) sin (φ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (φ) sin (φ) = sin^{1 + 1} (φ)

= sin^{1 + 1} (φ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (φ)

= \frac{sin ^{2} ( φ )}{cos ( φ )}

= - cos (φ) + sin (φ) - \frac{sin ^{2} ( φ )}{cos ( φ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (φ) = \frac{cos ( φ ) cos ( φ )}{cos ( φ )}, sin (φ) = \frac{sin ( φ ) cos ( φ )}{cos ( φ )}

= - \frac{cos ( φ ) cos ( φ )}{cos ( φ )} + \frac{sin ( φ ) cos ( φ )}{cos ( φ )} - \frac{sin ^{2} ( φ )}{cos ( φ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( φ ) cos ( φ ) + sin ( φ ) cos ( φ ) - sin ^{2} ( φ )}{cos ( φ )}

- cos (φ) cos (φ) + sin (φ) cos (φ) - sin^{2} (φ) = - cos^{2} (φ) + sin (φ) cos (φ) - sin^{2} (φ)

- cos (φ) cos (φ) + sin (φ) cos (φ) - sin^{2} (φ)

cos (φ) cos (φ) = cos^{2} (φ)

cos (φ) cos (φ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (φ) cos (φ) = cos^{1 + 1} (φ)

= cos^{1 + 1} (φ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (φ)

= - cos^{2} (φ) + sin (φ) cos (φ) - sin^{2} (φ)

= \frac{- cos ^{2} ( φ ) + sin ( φ ) cos ( φ ) - sin ^{2} ( φ )}{cos ( φ )}

= \frac{- cos ^{2} ( φ ) + sin ( φ ) cos ( φ ) - sin ^{2} ( φ )}{cos ( φ )}

\frac{- cos ^{2} ( φ ) - sin ^{2} ( φ ) + cos ( φ ) sin ( φ )}{cos ( φ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos^{2} (φ) - sin^{2} (φ) + cos (φ) sin (φ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (φ) sin (φ) - 1

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 1 + \frac{sin ( 2 φ )}{2}

- 1 + \frac{sin ( 2 φ )}{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + \frac{sin ( 2 φ )}{2} = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + \frac{sin ( 2 φ )}{2} + 1 = 0 + 1

Vereinfache

\frac{sin ( 2 φ )}{2} = 1

\frac{sin ( 2 φ )}{2} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{sin ( 2 φ )}{2} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 sin ( 2 φ )}{2} = 1 \cdot 2

Vereinfache

sin (2 φ) = 2

sin (2 φ) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r φ \in R

2 tan (x) cos (x) = tan (x)

so l v e f or x, tan (x) + ∣ tan (x) ∣ = 1

so l v e f or y, x = arctan (x + y)

2 sin (2 x) = 3 tan (x)

tan (φ) = \frac{1}{3}