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Beliebt Trigonometrie >

(1+cos(4x))sin(4x)=cos^2(2x)

Lösung

(1 + cos (4 x)) sin (4 x) = cos^{2} (2 x)

Lösung

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn, x = \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}, x = \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

Grad

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 7. 5^{\circ} + 9 0^{\circ} n, x = 37. 5^{\circ} + 9 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

(1 + cos (4 x)) sin (4 x) = cos^{2} (2 x)

Subtrahiere

cos^{2} (2 x)

von beiden Seiten

sin (4 x) (1 + cos (4 x)) - cos^{2} (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos^{2} (2 x) + (1 + cos (4 x)) sin (4 x)

cos (4 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

cos (4 x)

Schreibe um

= cos (2 \cdot 2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

cos (2 \cdot 2 x) = 2 cos^{2} (2 x) - 1

= 2 cos^{2} (2 x) - 1

= - cos^{2} (2 x) + sin (4 x) (1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1 : 2 cos^{2} (2 x)

1 + 2 cos^{2} (2 x) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (2 x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (2 x)

= - cos^{2} (2 x) + 2 cos^{2} (2 x) sin (4 x)

- cos^{2} (2 x) + 2 cos^{2} (2 x) sin (4 x) = 0

Faktorisiere

- cos^{2} (2 x) + 2 cos^{2} (2 x) sin (4 x) : cos^{2} (2 x) (2 sin (4 x) - 1)

- cos^{2} (2 x) + 2 cos^{2} (2 x) sin (4 x)

Klammere gleiche Terme aus

cos^{2} (2 x)

= cos^{2} (2 x) (- 1 + 2 sin (4 x))

cos^{2} (2 x) (2 sin (4 x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos^{2} (2 x) = 0 or 2 sin (4 x) - 1 = 0

cos^{2} (2 x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

cos^{2} (2 x) = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (2 x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (2 x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Löse

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

2 sin (4 x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}, x = \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

2 sin (4 x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 sin (4 x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (4 x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 sin (4 x) = 1

2 sin (4 x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (4 x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( 4 x )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

sin (4 x) = \frac{1}{2}

sin (4 x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (4 x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

4 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 4 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

4 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 4 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Löse

4 x = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

4 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

4

4 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4} : \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{π}{6}}{4} = \frac{π}{24}

\frac{\frac{π}{6}}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 4 = 24

= \frac{π}{24}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{πn}{2}

= \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x = \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x = \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

x = \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}

Löse

4 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

4 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

4

4 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

Vereinfache

\frac{4 x}{4} : x

\frac{4 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4} : \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{4} + \frac{2 πn}{4}

\frac{\frac{5 π}{6}}{4} = \frac{5 π}{24}

\frac{\frac{5 π}{6}}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 4 = 24

= \frac{5 π}{24}

\frac{2 πn}{4} = \frac{πn}{2}

\frac{2 πn}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{πn}{2}

= \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

x = \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

x = \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

x = \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

x = \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}, x = \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn, x = \frac{π}{24} + \frac{πn}{2}, x = \frac{5 π}{24} + \frac{πn}{2}

Graph

Beliebte Beispiele

arcsin(3/5)+arccos(x)=pi

arcsin (\frac{3}{5}) + arccos (x) = π

cos(θ)= 6/7

cos (θ) = \frac{6}{7}

2cos(2θ)+7sin(θ)=5

2 cos (2 θ) + 7 sin (θ) = 5

cos(x)= 5/10

cos (x) = \frac{5}{10}

sin((8pi)/(23))=sin(x)

sin (\frac{8 π}{23}) = sin (x)