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人気のある三角関数 >

6sin(x)-5cos(x)=7

解

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

解

x = 2.72507 \dots + 2 πn, x = 1.80599 \dots + 2 πn

+1

度

x = 156.13507 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 103.47606 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

両辺に

5 cos (x)

を足す

6 sin (x) = 7 + 5 cos (x)

両辺を2乗する

(6 sin (x))^{2} = (7 + 5 cos (x))^{2}

両辺から

(7 + 5 cos (x))^{2}

を引く

36 sin^{2} (x) - 49 - 70 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) - 70 cos (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x)

簡素化

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x) : - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x)

拡張

36 (1 - cos^{2} (x)) : 36 - 36 cos^{2} (x)

36 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 cos^{2} (x)

数を乗じる:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 cos^{2} (x)

= - 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x)

簡素化

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x) : - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x)

条件のようなグループ

= - 25 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 49 + 36

類似した元を足す:

- 25 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 61 cos^{2} (x)

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 49 + 36

数を足す/引く:

- 49 + 36 = - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 13 - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) = 0

置換で解く

- 13 - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0 : u = - \frac{35 + 12 3}{61}, u = - \frac{35 - 12 3}{61}

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 61 u^{2} - 70 u - 13 = 0

解くとthe二次式

- 61 u^{2} - 70 u - 13 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 61, b = - 70, c = - 13

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm ( - 70 ) ^{2} - 4 ( - 61 ) ( - 13 )}{2 ( - 61 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm ( - 70 ) ^{2} - 4 ( - 61 ) ( - 13 )}{2 ( - 61 )}

(- 70)^{2} - 4 (- 61) (- 13) = 243

(- 70)^{2} - 4 (- 61) (- 13)

規則を適用

- (- a) = a

= (- 70)^{2} - 4 \cdot 61 \cdot 13

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 70)^{2} = 7 0^{2}

= 7 0^{2} - 4 \cdot 61 \cdot 13

数を乗じる:

4 \cdot 61 \cdot 13 = 3172

= 7 0^{2} - 3172

7 0^{2} = 4900

= 4900 - 3172

数を引く:

4900 - 3172 = 1728

= 1728

以下の素因数分解:

1728 : 2^{6} \cdot 3^{3}

1728

172821728 = 864 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 864

8642864 = 432 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 432

4322432 = 216 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 216

2162216 = 108 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 108

1082108 = 54 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54

54254 = 27 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27327 = 9 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

939 = 3 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{6} \cdot 3^{3}

= 2^{6} \cdot 3^{3}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 3

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 3 2^{6} 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 3 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 33

改良

= 243

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm 24 3}{2 ( - 61 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )}, u_{2} = \frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )}

u = \frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )} : - \frac{35 + 12 3}{61}

\frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{70 + 24 3}{- 2 \cdot 61}

数を乗じる:

2 \cdot 61 = 122

= \frac{70 + 24 3}{- 122}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{70 + 24 3}{122}

キャンセル

\frac{70 + 24 3}{122} : \frac{35 + 12 3}{61}

\frac{70 + 24 3}{122}

因数

70 + 243 : 2 (35 + 123)

70 + 243

書き換え

= 2 \cdot 35 + 2 \cdot 123

共通項をくくり出す

2

= 2 (35 + 123)

= \frac{2 ( 35 + 12 3 )}{122}

共通因数を約分する:

2

= \frac{35 + 12 3}{61}

= - \frac{35 + 12 3}{61}

u = \frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )} : - \frac{35 - 12 3}{61}

\frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{70 - 24 3}{- 2 \cdot 61}

数を乗じる:

2 \cdot 61 = 122

= \frac{70 - 24 3}{- 122}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{70 - 24 3}{122}

キャンセル

\frac{70 - 24 3}{122} : \frac{35 - 12 3}{61}

\frac{70 - 24 3}{122}

因数

70 - 243 : 2 (35 - 123)

70 - 243

書き換え

= 2 \cdot 35 - 2 \cdot 123

共通項をくくり出す

2

= 2 (35 - 123)

= \frac{2 ( 35 - 12 3 )}{122}

共通因数を約分する:

2

= \frac{35 - 12 3}{61}

= - \frac{35 - 12 3}{61}

二次equationの解:

u = - \frac{35 + 12 3}{61}, u = - \frac{35 - 12 3}{61}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}, cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}, cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61} : x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61} : x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

の挿入向け

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

改良

7 = 7

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

改良

2.14501 \dots = 7

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

の挿入向け

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

改良

7 = 7

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

改良

- 4.66960 \dots = 7

\Rightarrow 偽

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 2.72507 \dots + 2 πn, x = 1.80599 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

3sin^2(x)-7sin(x)=6

3 sin^{2} (x) - 7 sin (x) = 6

2cos^2(x)-sin^2(x)+1=0

2 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 1 = 0

-6sin(t)+6cos(2t)=0

- 6 sin (t) + 6 cos (2 t) = 0

cos^{2} (x) = 4

2*sin(x)=tan(x)

2 \cdot sin (x) = tan (x)