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Popolare Trigonometria >

sinh^2(x)=2sinh(x)cosh(x)

Soluzione

sinh^{2} (x) = 2 sinh (x) cosh (x)

Soluzione

x = 0

Gradi

x = 0^{\circ}

Fasi della soluzione

sinh^{2} (x) = 2 sinh (x) cosh (x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sinh^{2} (x) = 2 sinh (x) cosh (x)

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 sinh (x) cosh (x)

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} cosh (x)

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} : x = 0

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

Applica le regole dell'esponente

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2}

(\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2}

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

(\frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2}

Risolvi

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} : u = - 1, u = 1

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2}

Affinare

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ( u ^{2} + 1 )}{2 u ^{2}}

Moltiplicare entrambi i membri

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ( u ^{2} + 1 )}{2 u ^{2}}

Applica la moltiplicazione incrociata: se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

allora

a \cdot d = b \cdot c

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Risolvi

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) : u = 0, u = - 1, u = 1

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Spostare

4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

a sinistra dell'equazione

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Sottrarre

4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

da entrambi i lati

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Semplificare

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) = 0

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) = 0

Fattorizza

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) : - 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) (u^{2} + 3)

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Fattorizza

(u^{2} - 1)^{2} : (u + 1)^{2} (u - 1)^{2}

Fattorizza

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= ((u + 1) (u - 1))^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

= (u + 1)^{2} (u - 1)^{2}

Fattorizza

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= 2 u^{2} (u + 1)^{2} (u - 1)^{2} - 4 u^{2} (u + 1) (u - 1) (u^{2} + 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u^{2} (u + 1) (u - 1)

= 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) ((u + 1) (u - 1) - 2 (u^{2} + 1))

Espandi

(u + 1) (u - 1) - 2 (u^{2} + 1) : - u^{2} - 3

(u + 1) (u - 1) - 2 (u^{2} + 1)

Espandi

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

= u^{2} - 1 - 2 (u^{2} + 1)

Espandi

- 2 (u^{2} + 1) : - 2 u^{2} - 2

- 2 (u^{2} + 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = - 2, b = u^{2}, c = 1

= - 2 u^{2} + (- 2) \cdot 1

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 2 u^{2} - 2 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 u^{2} - 2

= u^{2} - 1 - 2 u^{2} - 2

Semplifica

u^{2} - 1 - 2 u^{2} - 2 : - u^{2} - 3

u^{2} - 1 - 2 u^{2} - 2

Raggruppa termini simili

= u^{2} - 2 u^{2} - 1 - 2

Aggiungi elementi simili:

u^{2} - 2 u^{2} = - u^{2}

= - u^{2} - 1 - 2

Sottrai i numeri:

- 1 - 2 = - 3

= - u^{2} - 3

= - u^{2} - 3

= 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) (- u^{2} - 3)

Fattorizza

- u^{2} - 3 : - (u^{2} + 3)

- u^{2} - 3

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (u^{2} + 3)

= - 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) (u^{2} + 3)

- 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) (u^{2} + 3) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0 or u^{2} + 3 = 0

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Risolvi

u^{2} + 3 = 0 :

Nessuna soluzione per

u \in R

u^{2} + 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

u^{2} + 3 = 0

Sottrarre

3

da entrambi i lati

u^{2} + 3 - 3 = 0 - 3

Semplificare

u^{2} = - 3

u^{2} = - 3

x^{2}

non può essere negativo per

x \in R

Nessuna soluzione per u \in R

Le soluzioni sono

u = 0, u = - 1, u = 1

u = 0, u = - 1, u = 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2}

e confrontare con zero

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

2 \frac{u - u ^{- 1}}{2} \frac{u + u ^{- 1}}{2}

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Poiché l'equazione è non definita per:

0

u = - 1, u = 1

u = - 1, u = 1

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = - 1 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

Risolvi

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Semplificare

ln (1) : 0

ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

x = 0

x = 0

Grafico

Esempi popolari

tan(3x)cot(x+40)=1

tan (3 x) cot (x + 4 0^{\circ}) = 1

2sin(x)cos(x)+sqrt(2)sin(x)=0

2 sin (x) cos (x) + 2 sin (x) = 0

4sin(θ)=2sqrt(3)

4 sin (θ) = 23

sin(x)=2sin(x)

sin (x) = 2 sin (x)

sin(2θ)=sqrt(2)sin(θ)

sin (2 θ) = 2 sin (θ)