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Beliebt Trigonometrie >

3-cosh(x)=0

Lösung

3 - cosh (x) = 0

Lösung

x = ln (3 - 22), x = ln (3 + 22)

Grad

x = - 100.99797 \dots^{\circ}, x = 100.99797 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

3 - cosh (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 - cosh (x) = 0

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

3 - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 0

3 - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 0

3 - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 0 : x = ln (3 - 22), x = ln (3 + 22)

3 - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

3 \cdot 2 - \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 0 \cdot 2

Vereinfache

6 - (e^{x} + e^{- x}) = 0

Füge

(e^{x} + e^{- x})

zu beiden Seiten hinzu

6 - (e^{x} + e^{- x}) + e^{x} + e^{- x} = 0 + e^{x} + e^{- x}

Vereinfache

6 - (e^{x} + e^{- x}) + e^{x} + e^{- x} = e^{x} + e^{- x}

Wende Exponentenregel an

6 - (e^{x} + e^{- x}) + e^{x} + e^{- x} = e^{x} + e^{- x}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

6 - (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) + e^{x} + (e^{x})^{- 1} = e^{x} + (e^{x})^{- 1}

6 - (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) + e^{x} + (e^{x})^{- 1} = e^{x} + (e^{x})^{- 1}

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

6 - (u + (u)^{- 1}) + u + (u)^{- 1} = u + (u)^{- 1}

Löse

6 - (u + u^{- 1}) + u + u^{- 1} = u + u^{- 1} : u = 3 - 22, u = 3 + 22

6 - (u + u^{- 1}) + u + u^{- 1} = u + u^{- 1}

Fasse zusammen

6 - (u + \frac{1}{u}) + u + \frac{1}{u} = u + \frac{1}{u}

Subtrahiere

u + \frac{1}{u}

von beiden Seiten

6 - (u + \frac{1}{u}) + u + \frac{1}{u} - (u + \frac{1}{u}) = u + \frac{1}{u} - (u + \frac{1}{u})

Vereinfache

6 - (u + \frac{1}{u}) = 0

Vereinfache

- (u + \frac{1}{u}) : - u - \frac{1}{u}

- (u + \frac{1}{u})

Setze Klammern

= - (u) - (\frac{1}{u})

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - u - \frac{1}{u}

6 - u - \frac{1}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

6 - u - \frac{1}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

6 u - uu - \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

6 u - uu - \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- uu : - u^{2}

- uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

6 u - u^{2} - 1 = 0

6 u - u^{2} - 1 = 0

6 u - u^{2} - 1 = 0

Löse

6 u - u^{2} - 1 = 0 : u = 3 - 22, u = 3 + 22

6 u - u^{2} - 1 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + 6 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + 6 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 6, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

6^{2} - 4 (- 1) (- 1) = 42

6^{2} - 4 (- 1) (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 4 = 32

= 32

Primfaktorzerlegung von

32 : 2^{5}

32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Fasse zusammen

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 4 2}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )} : 3 - 22

\frac{- 6 + 4 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 4 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6 + 4 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 + 42 = - (6 - 42)

= \frac{6 - 4 2}{2}

Faktorisiere

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Schreibe um

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

u = \frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )} : 3 + 22

\frac{- 6 - 4 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 4 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6 - 4 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 - 42 = - (6 + 42)

= \frac{6 + 4 2}{2}

Faktorisiere

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 3 - 22, u = 3 + 22

u = 3 - 22, u = 3 + 22

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

6 - (u + u^{- 1}) + u + u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u + u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 3 - 22, u = 3 + 22

u = 3 - 22, u = 3 + 22

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 3 - 22 : x = ln (3 - 22)

e^{x} = 3 - 22

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 3 - 22

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (3 - 22)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (3 - 22)

x = ln (3 - 22)

Löse

e^{x} = 3 + 22 : x = ln (3 + 22)

e^{x} = 3 + 22

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 3 + 22

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (3 + 22)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (3 + 22)

x = ln (3 + 22)

x = ln (3 - 22), x = ln (3 + 22)

x = ln (3 - 22), x = ln (3 + 22)

Graph

Beliebte Beispiele

1(sin(x)-0.3pi)+2=0

1 (sin (x) - 0.3 π) + 2 = 0

8-32cos^2(t)=0

8 - 32 cos^{2} (t) = 0

tan(x)= 12/9

tan (x) = \frac{12}{9}

2cos^2(x)-cos(x)+1=0

2 cos^{2} (x) - cos (x) + 1 = 0

cos(3t)=0

cos (3 t) = 0