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Beliebt Trigonometrie >

4sin(2x)+csc(2x)=4

Lösung

4 sin (2 x) + csc (2 x) = 4

Lösung

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

Grad

x = 1 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 7 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (2 x) + csc (2 x) = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

4 sin (2 x) + csc (2 x) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + csc (2 x) + 4 sin (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - 4 + csc (2 x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( 2 x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( 2 x )} = \frac{4}{csc ( 2 x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( 2 x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( 2 x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( 2 x )}

= - 4 + csc (2 x) + \frac{4}{csc ( 2 x )}

- 4 + csc (2 x) + \frac{4}{csc ( 2 x )} = 0

Löse mit Substitution

- 4 + csc (2 x) + \frac{4}{csc ( 2 x )} = 0

Angenommen:

csc (2 x) = u

- 4 + u + \frac{4}{u} = 0

- 4 + u + \frac{4}{u} = 0 : u = 2

- 4 + u + \frac{4}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 4 + u + \frac{4}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 4 u + uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 4 u + uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 4

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 4 u + u^{2} + 4 = 0

- 4 u + u^{2} + 4 = 0

- 4 u + u^{2} + 4 = 0

Löse

- 4 u + u^{2} + 4 = 0 : u = 2

- 4 u + u^{2} + 4 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 4 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 4 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 4, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 4 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1} = 2

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

u = 2

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = 2

u = 2

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 4 + u + \frac{4}{u}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 2

Setze in

u = csc (2 x)

ein

csc (2 x) = 2

csc (2 x) = 2

csc (2 x) = 2 : x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

csc (2 x) = 2

Allgemeine Lösung für

csc (2 x) = 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

Löse

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

cot(θ)= 9/40

cot (θ) = \frac{9}{40}

sqrt(5)cos(x)-2sin(x)=0.5

5 cos (x) - 2 sin (x) = 0.5

sin(x)= 6/15

sin (x) = \frac{6}{15}

cot(θ)=1.4

cot (θ) = 1.4

75/125 =(cosh(0.2x))/(cosh(0.4x))

\frac{75}{125} = \frac{cosh ( 0.2 x )}{cosh ( 0.4 x )}