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Beliebt Trigonometrie >

sinh(x40)= 30/40

Lösung

sinh (x 40) = \frac{30}{40}

Lösung

x = \frac{1}{40} ln (2)

Grad

x = 0.99286 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

sinh (x \cdot 40) = \frac{30}{40}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sinh (x \cdot 40) = \frac{30}{40}

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x \cdot 40} - e ^{- x \cdot 40}}{2} = \frac{30}{40}

\frac{e ^{x \cdot 40} - e ^{- x \cdot 40}}{2} = \frac{30}{40}

\frac{e ^{x \cdot 40} - e ^{- x \cdot 40}}{2} = \frac{30}{40} : x = \frac{1}{40} ln (2)

\frac{e ^{x \cdot 40} - e ^{- x \cdot 40}}{2} = \frac{30}{40}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

(e^{x \cdot 40} - e^{- x \cdot 40}) \cdot 40 = 2 \cdot 30

Vereinfache

(e^{x \cdot 40} - e^{- x \cdot 40}) \cdot 40 = 60

Wende Exponentenregel an

(e^{x \cdot 40} - e^{- x \cdot 40}) \cdot 40 = 60

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{x 40} = (e^{x})^{40}, e^{- x 40} = (e^{x})^{- 40}

((e^{x})^{40} - (e^{x})^{- 40}) \cdot 40 = 60

((e^{x})^{40} - (e^{x})^{- 40}) \cdot 40 = 60

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

((u)^{40} - (u)^{- 40}) \cdot 40 = 60

Löse

(u^{40} - u^{- 40}) \cdot 40 = 60 : u = 202, u = - 202

(u^{40} - u^{- 40}) \cdot 40 = 60

Fasse zusammen

(u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) \cdot 40 = 60

Vereinfache

(u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) \cdot 40 : 40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

(u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) \cdot 40

Apply the commutative law:

(u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) \cdot 40 = 40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}}) = 60

Schreibe

40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

um:

40 u^{40} - \frac{40}{u ^{40}}

40 (u^{40} - \frac{1}{u ^{40}})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 40, b = u^{40}, c = \frac{1}{u ^{40}}

= 40 u^{40} - 40 \cdot \frac{1}{u ^{40}}

40 \cdot \frac{1}{u ^{40}} = \frac{40}{u ^{40}}

40 \cdot \frac{1}{u ^{40}}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 40}{u ^{40}}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 40 = 40

= \frac{40}{u ^{40}}

= 40 u^{40} - \frac{40}{u ^{40}}

40 u^{40} - \frac{40}{u ^{40}} = 60

Multipliziere beide Seiten mit

u^{40}

40 u^{40} - \frac{40}{u ^{40}} = 60

Multipliziere beide Seiten mit

u^{40}

40 u^{40} u^{40} - \frac{40}{u ^{40}} u^{40} = 60 u^{40}

Vereinfache

40 u^{40} u^{40} - \frac{40}{u ^{40}} u^{40} = 60 u^{40}

Vereinfache

40 u^{40} u^{40} : 40 u^{80}

40 u^{40} u^{40}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{40} u^{40} = u^{40 + 40}

= 40 u^{40 + 40}

Addiere die Zahlen:

40 + 40 = 80

= 40 u^{80}

Vereinfache

- \frac{40}{u ^{40}} u^{40} : - 40

- \frac{40}{u ^{40}} u^{40}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{40 u ^{40}}{u ^{40}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{40}

= - 40

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

Löse

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40} : u = 202, u = - 202

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

Verschiebe

60 u^{40}

auf die linke Seite

40 u^{80} - 40 = 60 u^{40}

Subtrahiere

60 u^{40}

von beiden Seiten

40 u^{80} - 40 - 60 u^{40} = 60 u^{40} - 60 u^{40}

Vereinfache

40 u^{80} - 40 - 60 u^{40} = 0

40 u^{80} - 40 - 60 u^{40} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

40 u^{80} - 60 u^{40} - 40 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}, v^{20} = u^{40}

und

v^{40} = u^{80}

40 v^{40} - 60 v^{20} - 40 = 0

Löse

40 v^{40} - 60 v^{20} - 40 = 0 : v = 102, v = - 102

40 v^{40} - 60 v^{20} - 40 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = v^{2}, u^{10} = v^{20}

und

u^{20} = v^{40}

40 u^{20} - 60 u^{10} - 40 = 0

Löse

40 u^{20} - 60 u^{10} - 40 = 0 : u = 52, u = - 52

40 u^{20} - 60 u^{10} - 40 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}, v^{5} = u^{10}

und

v^{10} = u^{20}

40 v^{10} - 60 v^{5} - 40 = 0

Löse

40 v^{10} - 60 v^{5} - 40 = 0 : v = 52, v = - \frac{1}{5 2}

40 v^{10} - 60 v^{5} - 40 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = v^{5}

und

u^{2} = v^{10}

40 u^{2} - 60 u - 40 = 0

Löse

40 u^{2} - 60 u - 40 = 0 : u = 2, u = - \frac{1}{2}

40 u^{2} - 60 u - 40 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

40 u^{2} - 60 u - 40 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 40, b = - 60, c = - 40

u_{1, 2} = \frac{- ( - 60 ) \pm ( - 60 ) ^{2} - 4 \cdot 40 ( - 40 )}{2 \cdot 40}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 60 ) \pm ( - 60 ) ^{2} - 4 \cdot 40 ( - 40 )}{2 \cdot 40}

(- 60)^{2} - 4 \cdot 40 (- 40) = 100

(- 60)^{2} - 4 \cdot 40 (- 40)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 60)^{2} + 4 \cdot 40 \cdot 40

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 60)^{2} = 6 0^{2}

= 6 0^{2} + 4 \cdot 40 \cdot 40

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 40 \cdot 40 = 6400

= 6 0^{2} + 6400

6 0^{2} = 3600

= 3600 + 6400

Addiere die Zahlen:

3600 + 6400 = 10000

= 10000

Faktorisiere die Zahl:

10000 = 10 0^{2}

= 10 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

10 0^{2} = 100

= 100

u_{1, 2} = \frac{- ( - 60 ) \pm 100}{2 \cdot 40}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 60 ) + 100}{2 \cdot 40}, u_{2} = \frac{- ( - 60 ) - 100}{2 \cdot 40}

u = \frac{- ( - 60 ) + 100}{2 \cdot 40} : 2

\frac{- ( - 60 ) + 100}{2 \cdot 40}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{60 + 100}{2 \cdot 40}

Addiere die Zahlen:

60 + 100 = 160

= \frac{160}{2 \cdot 40}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 40 = 80

= \frac{160}{80}

Teile die Zahlen:

\frac{160}{80} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 60 ) - 100}{2 \cdot 40} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 60 ) - 100}{2 \cdot 40}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{60 - 100}{2 \cdot 40}

Subtrahiere die Zahlen:

60 - 100 = - 40

= \frac{- 40}{2 \cdot 40}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 40 = 80

= \frac{- 40}{80}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{40}{80}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

40

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = - \frac{1}{2}

u = 2, u = - \frac{1}{2}

Setze

u = v^{5} w i e d er e in,

löse für

v

Löse

v^{5} = 2 : v = 52

v^{5} = 2

Für

x^{n} = f (a)

, n ist ungerade, die Lösung ist

x = n f (a)

v = 52

Löse

v^{5} = - \frac{1}{2} : v = - \frac{1}{5 2}

v^{5} = - \frac{1}{2}

Für

x^{n} = f (a)

, n ist ungerade, die Lösung ist

x = n f (a)

v = 5 - \frac{1}{2}

5 - \frac{1}{2} = - \frac{1}{5 2}

5 - \frac{1}{2}

Wende Radikal Regel an:

n - a = - n a,

wenn

n

ungerade ist

5 - \frac{1}{2} = - 5 \frac{1}{2}

= - 5 \frac{1}{2}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}, a \geq 0, b \geq 0

5 \frac{1}{2} = \frac{5 1}{5 2}

= - \frac{5 1}{5 2}

Wende Radikal Regel an:

n 1 = 1

51 = 1

= - \frac{1}{5 2}

v = - \frac{1}{5 2}

Die Lösungen sind

v = 52, v = - \frac{1}{5 2}

v = 52, v = - \frac{1}{5 2}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = 52 : u = 52, u = - 52

u^{2} = 52

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 52, u = - 52

Löse

u^{2} = - \frac{1}{5 2} :

Keine Lösung für

u \in R

u^{2} = - \frac{1}{5 2}

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Die Lösungen sind

u = 52, u = - 52

u = 52, u = - 52

Setze

u = v^{2} w i e d er e in,

löse für

v

Löse

v^{2} = 52 : v = 102, v = - 102

v^{2} = 52

Vereinfache

52 : 102

52

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{5 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{1}{10}

= 2^{\frac{1}{10}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 102

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

v = 102, v = - 102

Löse

v^{2} = - 52 :

Keine Lösung für

v \in R

v^{2} = - 52

Vereinfache

52 : 102

52

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}

\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{5 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{1}{10}

= 2^{\frac{1}{10}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 102

v^{2} = - 102

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r v \in R

Die Lösungen sind

v = 102, v = - 102

v = 102, v = - 102

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = 102 : u = 202, u = - 202

u^{2} = 102

Vereinfache

102 : 202

102

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{10}})^{\frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{20}

\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{10 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{10 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

10 \cdot 2 = 20

= \frac{1}{20}

= 2^{\frac{1}{20}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 202

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 202, u = - 202

Löse

u^{2} = - 102 :

Keine Lösung für

u \in R

u^{2} = - 102

Vereinfache

102 : 202

102

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (2^{\frac{1}{10}})^{\frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{20}

\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{10 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{10 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

10 \cdot 2 = 20

= \frac{1}{20}

= 2^{\frac{1}{20}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 202

u^{2} = - 202

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Die Lösungen sind

u = 202, u = - 202

u = 202, u = - 202

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(u^{40} - u^{- 40}) 40

und vergleiche mit Null

Löse

u^{40} = 0 : u = 0

u^{40} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 202, u = - 202

u = 202, u = - 202

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 202 : x = \frac{1}{40} ln (2)

e^{x} = 202

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 202

Wende Exponentenregel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

202 = 202^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (202)^{\frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(202)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}})

Wende die log Regel an:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}) = \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} ln (2)

x = \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} ln (2)

Vereinfache

x = \frac{1}{40} ln (2)

x = \frac{1}{40} ln (2)

Löse

e^{x} = - 202 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - 202

Wende Exponentenregel an

e^{x} = - 202

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

202 = 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = - 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = - 2^{\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}}

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = \frac{1}{40} ln (2)

x = \frac{1}{40} ln (2)

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)=0.36

tan (θ) = 0.36

4cosh(x)+3sinh(x)=5

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

tan(θ)=0.04

tan (θ) = 0.04

csc(θ)= 9/11

csc (θ) = \frac{9}{11}

5-7sin(x)=2cos^2(x)

5 - 7 sin (x) = 2 cos^{2} (x)