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Beliebt Trigonometrie >

(cos^2(x))/(1-cos(x))=1+cos(x)

Lösung

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} = 1 + cos (x)

Lösung

x = 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2.35619 \dots + 2 πn, x = - 2.35619 \dots + 2 πn

Grad

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} = 1 + cos (x)

Löse mit Substitution

\frac{cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} = 1 + cos (x)

Angenommen:

cos (x) = u

\frac{u ^{2}}{1 - u} = 1 + u

\frac{u ^{2}}{1 - u} = 1 + u : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

\frac{u ^{2}}{1 - u} = 1 + u

Multipliziere beide Seiten mit

1 - u

\frac{u ^{2}}{1 - u} = 1 + u

Multipliziere beide Seiten mit

1 - u

\frac{u ^{2}}{1 - u} (1 - u) = 1 \cdot (1 - u) + u (1 - u)

Vereinfache

\frac{u ^{2}}{1 - u} (1 - u) = 1 \cdot (1 - u) + u (1 - u)

Vereinfache

\frac{u ^{2}}{1 - u} (1 - u) : u^{2}

\frac{u ^{2}}{1 - u} (1 - u)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{u ^{2} ( 1 - u )}{1 - u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 - u

= u^{2}

Vereinfache

1 \cdot (1 - u) : 1 - u

1 \cdot (1 - u)

Multipliziere:

1 \cdot (1 - u) = (1 - u)

= (1 - u)

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 1 - u

u^{2} = 1 - u + u (1 - u)

u^{2} = 1 - u + u (1 - u)

u^{2} = 1 - u + u (1 - u)

Löse

u^{2} = 1 - u + u (1 - u) : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u^{2} = 1 - u + u (1 - u)

Schreibe

1 - u + u (1 - u)

um:

1 - u^{2}

1 - u + u (1 - u)

Multipliziere aus

u (1 - u) : u - u^{2}

u (1 - u)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 1, c = u

= u \cdot 1 - uu

= 1 \cdot u - uu

Vereinfache

1 \cdot u - uu : u - u^{2}

1 \cdot u - uu

1 \cdot u = u

1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= u

uu = u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

= u - u^{2}

= u - u^{2}

= 1 - u + u - u^{2}

Addiere gleiche Elemente:

- u + u = 0

= 1 - u^{2}

u^{2} = 1 - u^{2}

Verschiebe

u^{2}

auf die linke Seite

u^{2} = 1 - u^{2}

Füge

u^{2}

zu beiden Seiten hinzu

u^{2} + u^{2} = 1 - u^{2} + u^{2}

Vereinfache

2 u^{2} = 1

2 u^{2} = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u^{2} = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 1

Nimm den/die Nenner von

\frac{u ^{2}}{1 - u}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - u = 0 : u = 1

1 - u = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- u = - 1

- u = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- u = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

u = 1

u = 1

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 1

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2.35619 \dots + 2 πn, x = - 2.35619 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)= 19/50

sin (x) = \frac{19}{50}

5sin(2x-pi/2)=0.5

5 sin (2 x - \frac{π}{2}) = 0.5

5sin(x)=3sin(x)+cos(x)

5 sin (x) = 3 sin (x) + cos (x)

3-3cos(5x)=3cos(5x)

3 - 3 cos (5 x) = 3 cos (5 x)

1/(1-cos(x))+1/(1+cos(x))=2sec^2(x)

\frac{1}{1 - cos ( x )} + \frac{1}{1 + cos ( x )} = 2 sec^{2} (x)