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Beliebt Trigonometrie >

cos(x/2)-2cos(x)-2=0

Lösung

cos (\frac{x}{2}) - 2 cos (x) - 2 = 0

Lösung

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = 2 \cdot 1.31811 \dots + 4 πn, x = 4 π - 2 \cdot 1.31811 \dots + 4 πn

Grad

x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 151.04497 \dots^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 568.95502 \dots^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (\frac{x}{2}) - 2 cos (x) - 2 = 0

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

cos (u) - 2 cos (2 u) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + cos (u) - 2 cos (2 u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 + cos (u) - 2 (2 cos^{2} (u) - 1)

Vereinfache

- 2 + cos (u) - 2 (2 cos^{2} (u) - 1) : cos (u) - 4 cos^{2} (u)

- 2 + cos (u) - 2 (2 cos^{2} (u) - 1)

Multipliziere aus

- 2 (2 cos^{2} (u) - 1) : - 4 cos^{2} (u) + 2

- 2 (2 cos^{2} (u) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 2 cos^{2} (u), c = 1

= - 2 \cdot 2 cos^{2} (u) - (- 2) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 2 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1

Vereinfache

- 2 \cdot 2 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1 : - 4 cos^{2} (u) + 2

- 2 \cdot 2 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 4 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 4 cos^{2} (u) + 2

= - 4 cos^{2} (u) + 2

= - 2 + cos (u) - 4 cos^{2} (u) + 2

Vereinfache

- 2 + cos (u) - 4 cos^{2} (u) + 2 : cos (u) - 4 cos^{2} (u)

- 2 + cos (u) - 4 cos^{2} (u) + 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos (u) - 4 cos^{2} (u) - 2 + 2

- 2 + 2 = 0

= cos (u) - 4 cos^{2} (u)

= cos (u) - 4 cos^{2} (u)

= cos (u) - 4 cos^{2} (u)

cos (u) - 4 cos^{2} (u) = 0

Löse mit Substitution

cos (u) - 4 cos^{2} (u) = 0

Angenommen:

cos (u) = u

u - 4 u^{2} = 0

u - 4 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{1}{4}

u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} + u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

1^{2} - 4 (- 4) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 4) \cdot 0

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 4) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 4 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Addiere die Zahlen:

1 + 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 4 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 4}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{0}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{8}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{4}

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = \frac{1}{4}

Setze in

u = cos (u)

ein

cos (u) = 0, cos (u) = \frac{1}{4}

cos (u) = 0, cos (u) = \frac{1}{4}

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (u) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (u) = \frac{1}{4} : u = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, u = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (u) = \frac{1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (u) = \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (u) = \frac{1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

u = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, u = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

u = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, u = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn, u = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, u = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

x = 3 π + 4 πn

\frac{x}{2} = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn : x = 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 arccos (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 arccos (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 arccos (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 2 πn : 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

2 arccos (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

x = 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

x = 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

x = 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn : x = 4 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot 2 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 2 πn : 4 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

2 \cdot 2 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

x = 4 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

x = 4 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

x = 4 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn, x = 4 π - 2 arccos (\frac{1}{4}) + 4 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 4 πn, x = 3 π + 4 πn, x = 2 \cdot 1.31811 \dots + 4 πn, x = 4 π - 2 \cdot 1.31811 \dots + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

8*cos^2(3x)+6*cos(6x)=10216

8 \cdot cos^{2} (3 x) + 6 \cdot cos (6 x) = 10216

sin(x)=(48*sin(69))/(47.5)

sin (x) = \frac{48 \cdot sin ( 6 9 ^{\circ} )}{47.5}

cos(x)=(8sqrt(3))/(16)

cos (x) = \frac{8 3}{16}

solvefor x,cos^2(x)=0

so l v e f or x, cos^{2} (x) = 0

cos(θ)=(sqrt(7))/4

cos (θ) = \frac{7}{4}