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Popular Trigonometria >

(13)/(sin(108))= 9/(sin(x))

Solução

\frac{13}{sin ( 10 8 ^{\circ} )} = \frac{9}{sin ( x )}

Solução

x = 0.71872 \dots + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - 0.71872 \dots + 36 0^{\circ} n

Radianos

x = 0.71872 \dots + 2 πn, x = π - 0.71872 \dots + 2 πn

Passos da solução

\frac{13}{sin ( 10 8 ^{\circ} )} = \frac{9}{sin ( x )}

sin (10 8^{\circ}) = \frac{2 5 + 5}{4}

sin (10 8^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

cos (1 8^{\circ})

sin (10 8^{\circ})

Usar a seguinte identidade:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

= cos (9 0^{\circ} - 10 8^{\circ})

Simplificar:

9 0^{\circ} - 10 8^{\circ} = - 1 8^{\circ}

9 0^{\circ} - 10 8^{\circ}

Mínimo múltiplo comum de

2, 5 : 10

2, 5

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Decomposição em fatores primos de

5 : 5

5

5

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 5

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

2

ou em

5

= 2 \cdot 5

Multiplicar os números:

2 \cdot 5 = 10

= 10

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

9 0^{\circ} :

multiplique o numerador e o denominador por

5

9 0^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 5}{2 \cdot 5} = 9 0^{\circ}

Para

10 8^{\circ} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

10 8^{\circ} = \frac{54 0 ^{\circ} 2}{5 \cdot 2} = 10 8^{\circ}

= 9 0^{\circ} - 10 8^{\circ}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 5 - 108 0 ^{\circ}}{10}

Somar elementos similares:

90 0^{\circ} - 108 0^{\circ} = - 18 0^{\circ}

= \frac{- 18 0 ^{\circ}}{10}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - 1 8^{\circ}

= cos (- 1 8^{\circ})

Utilizar a seguinte propriedade:

cos (- x) = cos (x)

cos (- 1 8^{\circ}) = cos (1 8^{\circ})

= cos (1 8^{\circ})

= cos (1 8^{\circ})

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

\frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

cos (1 8^{\circ})

Escrever

cos (1 8^{\circ})

como

cos (\frac{3 6 ^{\circ}}{2})

= cos (\frac{3 6 ^{\circ}}{2})

Utilizar a identidade trigonométrica do arco metade:

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{1 + cos ( θ )}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Substituir

θ

por

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) - 1

Trocar lados

2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 + cos (θ)

Dividir ambos os lados por

2

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, 9 0^{\circ}] [9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}] [18 0^{\circ}, 27 0^{\circ}] [27 0^{\circ}, 36 0^{\circ}] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

= \frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (3 6^{\circ})

Demostrar que:

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar o seguinte produto para a identidade de suma de ângulos:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Demostrar que:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos os lados por

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Usar a seguinte identidade:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos os lados por

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Dividir ambos os lados por

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Substituir

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

\frac{1}{2} = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

sin (5 4^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

Demostrar que:

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Utilizar a regra de fatoração:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})))

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 2 (2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}))

Demostrar que:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos os lados por

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Usar a seguinte identidade:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

Dividir ambos os lados por

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Dividir ambos os lados por

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

Substituir

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 1

Substituir

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Adicionar

\frac{1}{4}

a ambos os lados

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Simplificar

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} = \frac{5}{4}

Obter a raiz quadrada de ambos os lados

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \pm \frac{5}{4}

cos (3 6^{\circ})

não pode ser negativa

sin (1 8^{\circ})

não pode ser negativa

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

Adicionar as seguintes equações

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{2}

((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Simplificar

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= \frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

Simplificar

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2} = \frac{5 + 5}{8}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

Simplificar

1 + \frac{5 + 1}{4}

em uma fração:

\frac{5 + 5}{4}

1 + \frac{5 + 1}{4}

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} + \frac{5 + 1}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 + 5 + 1}{4}

1 \cdot 4 + 5 + 1 = 5 + 5

1 \cdot 4 + 5 + 1

Multiplicar os números:

1 \cdot 4 = 4

= 4 + 5 + 1

Somar:

4 + 1 = 5

= 5 + 5

= \frac{5 + 5}{4}

= \frac{\frac{5 + 5}{4}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 + 5}{4 \cdot 2}

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{5 + 5}{8}

= \frac{5 + 5}{8}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 + 5}{8}

8 = 22

8

Decomposição em fatores primos de

8 : 2^{3}

8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= \frac{5 + 5}{2 2}

Racionalizar

\frac{5 + 5}{2 2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{5 + 5}{2 2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{5 + 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Somar elementos similares:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{13}{\frac{2 5 + 5}{4}} = \frac{9}{sin ( x )}

Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três)

\frac{13}{\frac{2 5 + 5}{4}} = \frac{9}{sin ( x )}

Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três): Se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

então

a \cdot d = b \cdot c

13 sin (x) = \frac{2 5 + 5}{4} \cdot 9

Simplificar

\frac{2 5 + 5}{4} \cdot 9 : \frac{9 2 5 + 5}{4}

\frac{2 5 + 5}{4} \cdot 9

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 5 + 5 \cdot 9}{4}

Fatorar

4 : 2^{2}

Fatorar

4 = 2^{2}

= \frac{9 2 5 + 5}{2 ^{2}}

Cancelar

\frac{2 5 + 5 \cdot 9}{2 ^{2}} : \frac{9 5 + 5}{2 ^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 5 + 5 \cdot 9}{2 ^{2}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{9 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}} 5 + 5}{2 ^{2}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{2 ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{2}} = \frac{1}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

= \frac{9 5 + 5}{2 ^{2 - \frac{1}{2}}}

Subtrair:

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{9 5 + 5}{2 ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{9 5 + 5}{2 ^{\frac{3}{2}}}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

Simplificar

= 22

= \frac{9 5 + 5}{2 2}

Racionalizar

\frac{9 5 + 5}{2 2} : \frac{9 2 5 + 5}{4}

\frac{9 5 + 5}{2 2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{9 5 + 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Somar elementos similares:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{9 2 5 + 5}{4}

= \frac{9 2 5 + 5}{4}

13 sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{4}

13 sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{4}

Dividir ambos os lados por

13

13 sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{4}

Dividir ambos os lados por

13

\frac{13 sin ( x )}{13} = \frac{\frac{9 2 5 + 5}{4}}{13}

Simplificar

\frac{13 sin ( x )}{13} = \frac{\frac{9 2 5 + 5}{4}}{13}

Simplificar

\frac{13 sin ( x )}{13} : sin (x)

\frac{13 sin ( x )}{13}

Dividir:

\frac{13}{13} = 1

= sin (x)

Simplificar

\frac{\frac{9 2 5 + 5}{4}}{13} : \frac{9 2 5 + 5}{52}

\frac{\frac{9 2 5 + 5}{4}}{13}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{9 2 5 + 5}{4 \cdot 13}

Multiplicar os números:

4 \cdot 13 = 52

= \frac{9 2 5 + 5}{52}

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

sin (x) = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{9}{sin ( x )}

e comparar com zero

sin (x) = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

sin (x) = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{9 2 5 + 5}{52}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arcsin (a) + 36 0^{\circ} n

x = arcsin (\frac{9 2 5 + 5}{52}) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arcsin (\frac{9 2 5 + 5}{52}) + 36 0^{\circ} n

x = arcsin (\frac{9 2 5 + 5}{52}) + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - arcsin (\frac{9 2 5 + 5}{52}) + 36 0^{\circ} n

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.71872 \dots + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} - 0.71872 \dots + 36 0^{\circ} n

Gráfico

Exemplos populares

tan^2(x)+5cos(x)-8=0

tan^{2} (x) + 5 cos (x) - 8 = 0

3sin(x)=2-2sin^2(x)

3 sin (x) = 2 - 2 sin^{2} (x)

100=100+40sin((9pi)/4 t)

100 = 100 + 40 sin (\frac{9 π}{4} t)

tan(φ)=-1/(sqrt(3))

tan (φ) = - \frac{1}{3}

sin(3m)=0

sin (3 m) = 0