解答
3sin(2x)=5cos2(2x)−1
解答
x=20.69892…+πn,x=2π−20.69892…+πn
+1
度数
x=20.02283…∘+180∘n,x=69.97716…∘+180∘n求解步骤
3sin(2x)=5cos2(2x)−1
两边减去 5cos2(2x)−13sin(2x)−5cos2(2x)+1=0
使用三角恒等式改写
1+3sin(2x)−5cos2(2x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=1+3sin(2x)−5(1−sin2(2x))
化简 1+3sin(2x)−5(1−sin2(2x)):5sin2(2x)+3sin(2x)−4
1+3sin(2x)−5(1−sin2(2x))
乘开 −5(1−sin2(2x)):−5+5sin2(2x)
−5(1−sin2(2x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=−5,b=1,c=sin2(2x)=−5⋅1−(−5)sin2(2x)
使用加减运算法则−(−a)=a=−5⋅1+5sin2(2x)
数字相乘:5⋅1=5=−5+5sin2(2x)
=1+3sin(2x)−5+5sin2(2x)
化简 1+3sin(2x)−5+5sin2(2x):5sin2(2x)+3sin(2x)−4
1+3sin(2x)−5+5sin2(2x)
对同类项分组=3sin(2x)+5sin2(2x)+1−5
数字相加/相减:1−5=−4=5sin2(2x)+3sin(2x)−4
=5sin2(2x)+3sin(2x)−4
=5sin2(2x)+3sin(2x)−4
−4+3sin(2x)+5sin2(2x)=0
用替代法求解
−4+3sin(2x)+5sin2(2x)=0
令:sin(2x)=u−4+3u+5u2=0
−4+3u+5u2=0:u=10−3+89,u=10−3−89
−4+3u+5u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=05u2+3u−4=0
使用求根公式求解
5u2+3u−4=0
二次方程求根公式:
若 a=5,b=3,c=−4u1,2=2⋅5−3±32−4⋅5(−4)
u1,2=2⋅5−3±32−4⋅5(−4)
32−4⋅5(−4)=89
32−4⋅5(−4)
使用法则 −(−a)=a=32+4⋅5⋅4
数字相乘:4⋅5⋅4=80=32+80
32=9=9+80
数字相加:9+80=89=89
u1,2=2⋅5−3±89
将解分隔开u1=2⋅5−3+89,u2=2⋅5−3−89
u=2⋅5−3+89:10−3+89
2⋅5−3+89
数字相乘:2⋅5=10=10−3+89
u=2⋅5−3−89:10−3−89
2⋅5−3−89
数字相乘:2⋅5=10=10−3−89
二次方程组的解是:u=10−3+89,u=10−3−89
u=sin(2x)代回sin(2x)=10−3+89,sin(2x)=10−3−89
sin(2x)=10−3+89,sin(2x)=10−3−89
sin(2x)=10−3+89:x=2arcsin(10−3+89)+πn,x=2π−2arcsin(10−3+89)+πn
sin(2x)=10−3+89
使用反三角函数性质
sin(2x)=10−3+89
sin(2x)=10−3+89的通解sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πn2x=arcsin(10−3+89)+2πn,2x=π−arcsin(10−3+89)+2πn
2x=arcsin(10−3+89)+2πn,2x=π−arcsin(10−3+89)+2πn
解 2x=arcsin(10−3+89)+2πn:x=2arcsin(10−3+89)+πn
2x=arcsin(10−3+89)+2πn
两边除以 2
2x=arcsin(10−3+89)+2πn
两边除以 222x=2arcsin(10−3+89)+22πn
化简x=2arcsin(10−3+89)+πn
x=2arcsin(10−3+89)+πn
解 2x=π−arcsin(10−3+89)+2πn:x=2π−2arcsin(10−3+89)+πn
2x=π−arcsin(10−3+89)+2πn
两边除以 2
2x=π−arcsin(10−3+89)+2πn
两边除以 222x=2π−2arcsin(10−3+89)+22πn
化简x=2π−2arcsin(10−3+89)+πn
x=2π−2arcsin(10−3+89)+πn
x=2arcsin(10−3+89)+πn,x=2π−2arcsin(10−3+89)+πn
sin(2x)=10−3−89:无解
sin(2x)=10−3−89
−1≤sin(x)≤1无解
合并所有解x=2arcsin(10−3+89)+πn,x=2π−2arcsin(10−3+89)+πn
以小数形式表示解x=20.69892…+πn,x=2π−20.69892…+πn