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Beliebt Trigonometrie >

2sin(θ)+cos(2θ)=0

Lösung

2 sin (θ) + cos (2 θ) = 0

Lösung

θ = - 0.37473 \dots + 2 πn, θ = π + 0.37473 \dots + 2 πn

Grad

θ = - 21.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 201.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (θ) + cos (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 θ) + 2 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (θ) + 2 sin (θ)

1 + 2 sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

1 + 2 sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 3}{2}, u = \frac{1 + 3}{2}

1 + 2 u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 23

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= 12

Primfaktorzerlegung von

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{- 1 + 3}{2}

\frac{- 2 + 2 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 3}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 3}{4}

Streiche

\frac{- 2 + 2 3}{4} : \frac{3 - 1}{2}

\frac{- 2 + 2 3}{4}

Faktorisiere

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 3}{2}

= - \frac{3 - 1}{2}

= - \frac{- 1 + 3}{2}

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{- 2 - 2 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 3}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 3}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 23 = - (2 + 23)

= \frac{2 + 2 3}{4}

Faktorisiere

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 3}{2}, u = \frac{1 + 3}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - \frac{- 1 + 3}{2}, sin (θ) = \frac{1 + 3}{2}

sin (θ) = - \frac{- 1 + 3}{2}, sin (θ) = \frac{1 + 3}{2}

sin (θ) = - \frac{- 1 + 3}{2} : θ = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{- 1 + 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{- 1 + 3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{- 1 + 3}{2}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1 + 3}{2} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (- \frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{- 1 + 3}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = - 0.37473 \dots + 2 πn, θ = π + 0.37473 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x+pi/4)=sqrt(2)cos(x+pi/4)

sin (x + \frac{π}{4}) = 2 cos (x + \frac{π}{4})

5=7cos(pi/3 t)

5 = 7 cos (\frac{π}{3} t)

6cos^2(x)-4=0

6 cos^{2} (x) - 4 = 0

csc(x)=3.5

csc (x) = 3.5

sin(x)=0,sin(x)=0

sin (x) = 0, sin (x) = 0