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人気のある三角関数 >

4sin^3(x)-8sin^2(x)+sin(x)+3=0

解

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

解

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

+1

度

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

置換で解く

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

仮定:

sin (x) = u

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

因数

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 : (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

有理根定理を使用する

a_{0} = 3, a_{n} = 4

a_{0} : 1, 3

の除数,

a_{n} : 1, 2, 4

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

は式の累乗根なので

u - 1

をくくり出す

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} - 4 u - 3

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

割る

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

分子

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

商 = 4 u^{2}

u - 1

に

4 u^{2}

を乗じる:

4 u^{3} - 4 u^{2}

4 u^{3} - 4 u^{2}

を

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

から引いて新しい余りを得る

余り = - 4 u^{2} + u + 3

このため

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

割る

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

分子

- 4 u^{2} + u + 3

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u

商 = - 4 u

u - 1

に

- 4 u

を乗じる:

- 4 u^{2} + 4 u

- 4 u^{2} + 4 u

を

- 4 u^{2} + u + 3

から引いて新しい余りを得る

余り = - 3 u + 3

このため

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

割る

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} : \frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

分子

- 3 u + 3

と除数

u - 1

の主係数で割る:

\frac{- 3 u}{u} = - 3

商 = - 3

u - 1

に

- 3

を乗じる:

- 3 u + 3

- 3 u + 3

を

- 3 u + 3

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

因数

4 u^{2} - 4 u - 3 : (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 4 u - 3

式をグループに分ける

4 u^{2} - 4 u - 3

定義

以下の因数:

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

12 : 2, 2, 3

12

12212 = 6 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 6

626 = 3 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 3

以下の素因数を乗じる:

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

素因数を加える:

2, 3

1 および

12

の数自体を加える

1, 12

以下の因数:

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

以下の負の因数:

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

u * v = - 12

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = - 4

以下をチェックする:

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 6

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

= (4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

2 u

を

4 u^{2} + 2 u : 2 u (2 u + 1)

からくくり出す

4 u^{2} + 2 u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu + 2 u

4

を書き換え

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu + 2 u

共通項をくくり出す

2 u

= 2 u (2 u + 1)

- 3

を

- 6 u - 3 : - 3 (2 u + 1)

からくくり出す

- 6 u - 3

6

を書き換え

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

共通項をくくり出す

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= 2 u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

共通項をくくり出す

2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u - 3)

= (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

(u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

解く

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

解く

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

2 u = - 1

2 u = - 1

以下で両辺を割る

2

2 u = - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

簡素化

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

解く

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

3

を右側に移動します

2 u - 3 = 0

両辺に

3

を足す

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

簡素化

2 u = 3

2 u = 3

以下で両辺を割る

2

2 u = 3

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

簡素化

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

解答は

u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

以下の一般解

sin (x) = 1

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

以下の一般解

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2} :

解なし

sin (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

解なし

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

グラフ

人気の例

sin (x) = 0.71

sin(2x)+2sin(x)-cos(x)-1=0

sin (2 x) + 2 sin (x) - cos (x) - 1 = 0

cos(2x)=-0.4,-180<= x<= 180

cos (2 x) = - 0.4, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

cos(x)=(-4)/(8/3 sqrt(3))

cos (x) = \frac{- 4}{\frac{8}{3} 3}

- 2 tan (x) + 6 = 8