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Beliebt Trigonometrie >

(2sec^2(x)-1)/(sec^2(x))=sec^2(x)

Lösung

\frac{2 sec ^{2} ( x ) - 1}{sec ^{2} ( x )} = sec^{2} (x)

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{2 sec ^{2} ( x ) - 1}{sec ^{2} ( x )} = sec^{2} (x)

Löse mit Substitution

\frac{2 sec ^{2} ( x ) - 1}{sec ^{2} ( x )} = sec^{2} (x)

Angenommen:

sec (x) = u

\frac{2 u ^{2} - 1}{u ^{2}} = u^{2}

\frac{2 u ^{2} - 1}{u ^{2}} = u^{2} : u = 1, u = - 1

\frac{2 u ^{2} - 1}{u ^{2}} = u^{2}

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

\frac{2 u ^{2} - 1}{u ^{2}} = u^{2}

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

\frac{2 u ^{2} - 1}{u ^{2}} u^{2} = u^{2} u^{2}

Vereinfache

u^{2} u^{2} : u^{4}

\frac{2 u ^{2} - 1}{u ^{2}} u^{2} = u^{2} u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= u^{4}

2 u^{2} - 1 = u^{4}

2 u^{2} - 1 = u^{4}

Löse

2 u^{2} - 1 = u^{4} : u = 1, u = - 1

2 u^{2} - 1 = u^{4}

Tausche die Seiten

u^{4} = 2 u^{2} - 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

u^{4} = 2 u^{2} - 1

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u^{4} + 1 = 2 u^{2} - 1 + 1

Vereinfache

u^{4} + 1 = 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 u^{2}

Verschiebe

2 u^{2}

auf die linke Seite

u^{4} + 1 = 2 u^{2}

Subtrahiere

2 u^{2}

von beiden Seiten

u^{4} + 1 - 2 u^{2} = 2 u^{2} - 2 u^{2}

Vereinfache

u^{4} + 1 - 2 u^{2} = 0

u^{4} + 1 - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Löse

v^{2} - 2 v + 1 = 0 : v = 1

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 2, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} - 4

2^{2} = 4

= 4 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 4 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 0}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1} = 1

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = 1

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

v = 1

v = 1

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Regel an

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die Lösungen sind

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

\frac{2 u ^{2} - 1}{u ^{2}}

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = - 1

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = 1, sec (x) = - 1

sec (x) = 1, sec (x) = - 1

sec (x) = 1 : x = 2 πn

sec (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

9(sin(x)-0.6pi)+8=0

9 (sin (x) - 0.6 π) + 8 = 0

solvefor t,v=100cos(50t+20)v

so l v e f or t, v = 100 cos (50 t + 2 0^{\circ}) v

cos(2x)=sin(pi/2-x)

cos (2 x) = sin (\frac{π}{2} - x)

sin(x)=sin(50)

sin (x) = sin (5 0^{\circ})

solvefor n,y=-sin(2((3pi)/4+pin))2

so l v e f or n, y = - sin (2 (\frac{3 π}{4} + πn)) 2