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Popular Trigonometria >

3tan(x)+cot(x)-5csc(x)=0

Solução

3 tan (x) + cot (x) - 5 csc (x) = 0

Solução

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

3 tan (x) + cot (x) - 5 csc (x) = 0

Expresar com seno, cosseno

cot (x) + 3 tan (x) - 5 csc (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + 3 tan (x) - 5 csc (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 5 csc (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{cos ( x ) ( cos ( x ) - 5 ) + 3 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 5 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{5}{sin ( x )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{sin ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{5}{sin ( x )}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{cos ( x ) - 5}{sin ( x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) - 5}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) - 5}{sin ( x )} + \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin (x)

quanto em

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{cos ( x ) - 5}{sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{cos ( x ) - 5}{sin ( x )} = \frac{( cos ( x ) - 5 ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{3 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{( cos ( x ) - 5 ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{3 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( cos ( x ) - 5 ) cos ( x ) + 3 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) ( cos ( x ) - 5 ) + 3 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{( - 5 + cos ( x ) ) cos ( x ) + 3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(- 5 + cos (x)) cos (x) + 3 sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(- 5 + cos (x)) cos (x) + 3 sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (- 5 + cos (x)) cos (x) + 3 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

(- 5 + cos (x)) cos (x) + 3 (1 - cos^{2} (x)) : - 5 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

(- 5 + cos (x)) cos (x) + 3 (1 - cos^{2} (x))

= cos (x) (- 5 + cos (x)) + 3 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

cos (x) (- 5 + cos (x)) : - 5 cos (x) + cos^{2} (x)

cos (x) (- 5 + cos (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x), b = - 5, c = cos (x)

= cos (x) (- 5) + cos (x) cos (x)

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - 5 cos (x) + cos (x) cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= - 5 cos (x) + cos^{2} (x)

= - 5 cos (x) + cos^{2} (x) + 3 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= - 5 cos (x) + cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x)

Simplificar

- 5 cos (x) + cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x) : - 5 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

- 5 cos (x) + cos^{2} (x) + 3 - 3 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - 5 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) + 3

Somar elementos similares:

cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 5 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

= - 5 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

= - 5 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

3 - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

3 - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

3 - 2 u^{2} - 5 u = 0

3 - 2 u^{2} - 5 u = 0 : u = - 3, u = \frac{1}{2}

3 - 2 u^{2} - 5 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 5 u + 3 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} - 5 u + 3 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = - 5, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 2) \cdot 3 = 7

(- 5)^{2} - 4 (- 2) \cdot 3

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Somar:

25 + 24 = 49

= 49

Fatorar o número:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 7}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 2 )} : - 3

\frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 7}{- 2 \cdot 2}

Somar:

5 + 7 = 12

= \frac{12}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{12}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{4}

Dividir:

\frac{12}{4} = 3

= - 3

u = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 7}{- 2 \cdot 2}

Subtrair:

5 - 7 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 3, u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - 3, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 3, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 3 :

Sem solução

cos (x) = - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

3cos^2(x)=1-5sin(x)

3 cos^{2} (x) = 1 - 5 sin (x)

solvefor x,2sin(3x)-1=0

so l v e f or x, 2 sin (3 x) - 1 = 0

2(cos(t))2-cos(t)-1=0

2 (cos (t)) 2 - cos (t) - 1 = 0

cos(c)=cos(7)cos(60)

cos (c) = cos (7) cos (6 0^{\circ})

cos(xpi)=(-1)^n

cos (x π) = (- 1)^{n}