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Popular Trigonometria >

2cos(x)=cos^2(x)-1

Solução

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Solução

x = 1.99787 \dots + 2 πn, x = - 1.99787 \dots + 2 πn

Graus

x = 114.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 114.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Usando o método de substituição

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Sea:

cos (x) = u

2 u = u^{2} - 1

2 u = u^{2} - 1 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

2 u = u^{2} - 1

Trocar lados

u^{2} - 1 = 2 u

Mova

2 u

para o lado esquerdo

u^{2} - 1 = 2 u

Subtrair

2 u

de ambos os lados

u^{2} - 1 - 2 u = 2 u - 2 u

Simplificar

u^{2} - 1 - 2 u = 0

u^{2} - 1 - 2 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Somar:

4 + 4 = 8

= 8

Decomposição em fatores primos de

8 : 2^{3}

8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Fatorar

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Reescrever como

= 2 \cdot 1 + 22

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Fatorar

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Reescrever como

= 2 \cdot 1 - 22

Fatorar o termo comum

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = 1 + 2, cos (x) = 1 - 2

cos (x) = 1 + 2, cos (x) = 1 - 2

cos (x) = 1 + 2 :

Sem solução

cos (x) = 1 + 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = 1 - 2 : x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

cos (x) = 1 - 2

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = 1 - 2

Soluções gerais para

cos (x) = 1 - 2

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 1.99787 \dots + 2 πn, x = - 1.99787 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

2sin(v)csc(v)-csc(v)=4sin(v)-2

2 sin (v) csc (v) - csc (v) = 4 sin (v) - 2

2cos(2x)=4cos(x)

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

(sin(42))/(22)=(sin(B))/(12)

\frac{sin ( 4 2 ^{\circ} )}{22} = \frac{sin ( B )}{12}

sin(θ)= 16/14

sin (θ) = \frac{16}{14}

tan(θ)= 83/47

tan (θ) = \frac{83}{47}