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Beliebt Trigonometrie >

cosh(1+i)

Lösung

cosh (1 + i)

Lösung

\frac{cos ( 1 ) + e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + i \frac{- sin ( 1 ) + e ^{2} sin ( 1 )}{2 e}

Schritte zur Lösung

cosh (1 + i)

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{1 + i} + e ^{- (1 + i)}}{2}

Vereinfache

\frac{e ^{1 + i} + e ^{- (1 + i)}}{2} : \frac{cos ( - 1 ) + e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + i \frac{sin ( - 1 ) + e ^{2} sin ( 1 )}{2 e}

\frac{e ^{1 + i} + e ^{- (1 + i)}}{2}

e^{1 + i} + e^{- (1 + i)} = e (cos (1) + i sin (1)) + e^{- 1} (cos (- 1) + i sin (- 1))

e^{1 + i} + e^{- (1 + i)}

e^{1 + i} = e (cos (1) + i sin (1))

e^{1 + i}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{1} (cos (1) + i sin (1))

Wende Regel an

a^{1} = a

e^{1} = e

= e (cos (1) + i sin (1))

e^{- (1 + i)} = e^{- 1} (cos (- 1) + i sin (- 1))

e^{- (1 + i)}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{- 1} (cos (- 1) + i sin (- 1))

= e (cos (1) + i sin (1)) + e^{- 1} (cos (- 1) + i sin (- 1))

= \frac{e ( cos ( 1 ) + i sin ( 1 ) ) + e ^{- 1} ( cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 ) )}{2}

e^{- 1} (cos (- 1) + sin (- 1) i) = \frac{cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 )}{e}

e^{- 1} (cos (- 1) + sin (- 1) i)

Wende Exponentenregel an:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

e^{- 1} = \frac{1}{e}

= \frac{1}{e} (cos (- 1) + i sin (- 1))

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i )}{e}

1 \cdot (cos (- 1) + sin (- 1) i) = cos (- 1) + i sin (- 1)

1 \cdot (cos (- 1) + sin (- 1) i)

Multipliziere:

1 \cdot (cos (- 1) + sin (- 1) i) = (cos (- 1) + sin (- 1) i)

= (cos (- 1) + i sin (- 1))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= cos (- 1) + sin (- 1) i

= \frac{cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 )}{e}

= \frac{e ( cos ( 1 ) + i sin ( 1 ) ) + \frac{c o s ( - 1 ) + i s i n ( - 1 )}{e}}{2}

Füge

e (cos (1) + sin (1) i) + \frac{cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e}

zusammen:

\frac{e ^{2} ( cos ( 1 ) + i sin ( 1 ) ) + cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 )}{e}

e (cos (1) + sin (1) i) + \frac{cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e}

Wandle das Element in einen Bruch um:

e (cos (1) + i sin (1)) = \frac{e ( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e}{e}

= \frac{e ( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e}{e} + \frac{cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e + cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e}

e (cos (1) + sin (1) i) e + cos (- 1) + sin (- 1) i = e^{2} (cos (1) + i sin (1)) + cos (- 1) + i sin (- 1)

e (cos (1) + sin (1) i) e + cos (- 1) + sin (- 1) i

e (cos (1) + sin (1) i) e = e^{2} (cos (1) + i sin (1))

e (cos (1) + sin (1) i) e

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= (cos (1) + sin (1) i) e^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= (cos (1) + sin (1) i) e^{2}

= e^{2} (cos (1) + i sin (1)) + cos (- 1) + i sin (- 1)

= \frac{e ^{2} ( cos ( 1 ) + i sin ( 1 ) ) + cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 )}{e}

= \frac{\frac{e ^{2} ( c o s ( 1 ) + i s i n ( 1 ) ) + c o s ( - 1 ) + i s i n ( - 1 )}{e}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e ^{2} + cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e 2}

Schreibe

\frac{( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e ^{2} + cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e 2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{e ^{2} cos ( 1 ) + cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{e ^{2} sin ( 1 ) + sin ( - 1 )}{2 e} i

\frac{( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e ^{2} + cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e 2}

Multipliziere aus

(cos (1) + sin (1) i) e^{2} + cos (- 1) + sin (- 1) i : e^{2} cos (1) + e^{2} i sin (1) + cos (- 1) + sin (- 1) i

(cos (1) + sin (1) i) e^{2} + cos (- 1) + sin (- 1) i

= e^{2} (cos (1) + i sin (1)) + cos (- 1) + i sin (- 1)

Multipliziere aus

e^{2} (cos (1) + sin (1) i) : e^{2} cos (1) + e^{2} i sin (1)

e^{2} (cos (1) + sin (1) i)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = e^{2}, b = cos (1), c = sin (1) i

= e^{2} cos (1) + e^{2} sin (1) i

= e^{2} cos (1) + e^{2} i sin (1)

= e^{2} cos (1) + e^{2} i sin (1) + cos (- 1) + sin (- 1) i

= \frac{e ^{2} cos ( 1 ) + e ^{2} i sin ( 1 ) + cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 )}{2 e}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{e ^{2} cos ( 1 ) + e ^{2} i sin ( 1 ) + cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 )}{2 e} = \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2 e} + \frac{cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{i sin ( - 1 )}{2 e}

= \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2 e} + \frac{cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{i sin ( - 1 )}{2 e}

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{i sin ( - 1 )}{2 e} + \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2 e}

Streiche

\frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} : \frac{e cos ( 1 )}{2}

\frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2 e}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

e

= \frac{e cos ( 1 )}{2}

= \frac{cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{i sin ( - 1 )}{2 e} + \frac{e cos ( 1 )}{2} + \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2 e}

Streiche

\frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2 e} : \frac{e i sin ( 1 )}{2}

\frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2 e}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

e

= \frac{e i sin ( 1 )}{2}

= \frac{cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{i sin ( - 1 )}{2 e} + \frac{e cos ( 1 )}{2} + \frac{e i sin ( 1 )}{2}

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{e cos ( 1 )}{2} + \frac{cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{e i sin ( 1 )}{2} + \frac{i sin ( - 1 )}{2 e}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (\frac{e cos ( 1 )}{2} + \frac{cos ( - 1 )}{2 e}) + (\frac{e sin ( 1 )}{2} + \frac{sin ( - 1 )}{2 e}) i

\frac{e sin ( 1 )}{2} + \frac{sin ( - 1 )}{2 e} = \frac{e ^{2} sin ( 1 ) + sin ( - 1 )}{2 e}

\frac{e sin ( 1 )}{2} + \frac{sin ( - 1 )}{2 e}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 e : 2 e

2, 2 e

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 : 2

2, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

2

vorkommt

= 2

Multipliziere die Zahlen:

2 = 2

= 2

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

2

oder

2 e

auftauchen.

= 2 e

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

2 e

Für

\frac{e sin ( 1 )}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

e

\frac{e sin ( 1 )}{2} = \frac{e sin ( 1 ) e}{2 e} = \frac{e ^{2} sin ( 1 )}{2 e}

= \frac{e ^{2} sin ( 1 )}{2 e} + \frac{sin ( - 1 )}{2 e}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2} sin ( 1 ) + sin ( - 1 )}{2 e}

= (\frac{e cos ( 1 )}{2} + \frac{cos ( - 1 )}{2 e}) + \frac{e ^{2} sin ( 1 ) + sin ( - 1 )}{2 e} i

\frac{e cos ( 1 )}{2} + \frac{cos ( - 1 )}{2 e} = \frac{e ^{2} cos ( 1 ) + cos ( - 1 )}{2 e}

\frac{e cos ( 1 )}{2} + \frac{cos ( - 1 )}{2 e}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 e : 2 e

2, 2 e

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 : 2

2, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

2

vorkommt

= 2

Multipliziere die Zahlen:

2 = 2

= 2

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

2

oder

2 e

auftauchen.

= 2 e

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

2 e

Für

\frac{e cos ( 1 )}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

e

\frac{e cos ( 1 )}{2} = \frac{e cos ( 1 ) e}{2 e} = \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2 e}

= \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + \frac{cos ( - 1 )}{2 e}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2} cos ( 1 ) + cos ( - 1 )}{2 e}

= \frac{e ^{2} cos ( 1 ) + cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{e ^{2} sin ( 1 ) + sin ( - 1 )}{2 e} i

= \frac{e ^{2} cos ( 1 ) + cos ( - 1 )}{2 e} + \frac{e ^{2} sin ( 1 ) + sin ( - 1 )}{2 e} i

= \frac{cos ( - 1 ) + e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + i \frac{sin ( - 1 ) + e ^{2} sin ( 1 )}{2 e}

Verwende die folgende Eigenschaft:

sin (- x) = - sin (x)

sin (- 1) = - sin (1)

= \frac{cos ( - 1 ) + e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + i \frac{- sin ( 1 ) + e ^{2} sin ( 1 )}{2 e}

Verwende die folgende Eigenschaft:

cos (- x) = cos (x)

cos (- 1) = cos (1)

= \frac{cos ( 1 ) + e ^{2} cos ( 1 )}{2 e} + i \frac{- sin ( 1 ) + e ^{2} sin ( 1 )}{2 e}

Beliebte Beispiele

arcsin(sin(2pi))

arcsin (sin (2 π))

sin(2.3)

sin (2.3)

sin(45)*3

sin (4 5^{\circ}) \cdot 3

sec(-pi/3)-cot(-(5pi)/4)

sec (- \frac{π}{3}) - cot (- \frac{5 π}{4})

49cos(30)

49 cos (3 0^{\circ})