展開する (csc(x)-cot(x))^4

解

展開する

(csc (x) - cot (x))^{4}

csc^{4} (x) - 4 csc^{3} (x) cot (x) + 6 csc^{2} (x) cot^{2} (x) - 4 cot^{3} (x) csc (x) + cot^{4} (x)

解答ステップ

(csc (x) - cot (x))^{4}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = csc (x), b = - cot (x)

= i = 0 \sum 4 (i 4) csc^{(4 - i)} (x) (- cot (x))^{i}

総和を展開する

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} csc^{4} (x) (- cot (x))^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} csc^{3} (x) (- cot (x))^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} csc^{2} (x) (- cot (x))^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} csc^{1} (x) (- cot (x))^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} csc^{0} (x) (- cot (x))^{4}

簡素化

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} csc^{4} (x) (- cot (x))^{0} : csc^{4} (x)

簡素化

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} csc^{3} (x) (- cot (x))^{1} : - 4 csc^{3} (x) cot (x)

簡素化

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} csc^{2} (x) (- cot (x))^{2} : 6 csc^{2} (x) cot^{2} (x)

簡素化

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} csc^{1} (x) (- cot (x))^{3} : - 4 cot^{3} (x) csc (x)

簡素化

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} csc^{0} (x) (- cot (x))^{4} : cot^{4} (x)

= csc^{4} (x) - 4 csc^{3} (x) cot (x) + 6 csc^{2} (x) cot^{2} (x) - 4 cot^{3} (x) csc (x) + cot^{4} (x)