展開する ((x-iy)^3)/((x+iy)^2)

解

展開する

\frac{( x - i y ) ^{3}}{( x + i y ) ^{2}}

\frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4}}{x ^{4} + y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2}} + i \frac{- y ^{5} + 10 x ^{2} y ^{3} - 5 x ^{4} y}{x ^{4} + y ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2}}

解答ステップ

\frac{( x - i y ) ^{3}}{( x + i y ) ^{2}}

(x + i y)^{2} = x^{2} + 2 i x y - y^{2}

= \frac{( x - i y ) ^{3}}{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}}

(x - i y)^{3} = x^{3} - 3 i x^{2} y - 3 x y^{2} + i y^{3}

= \frac{x ^{3} - 3 i x ^{2} y - 3 x y ^{2} + i y ^{3}}{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}}

有理化する

\frac{x ^{3} - 3 i x ^{2} y - 3 x y ^{2} + i y ^{3}}{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}} : \frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4} + i ( - y ^{5} + 10 x ^{2} y ^{3} - 5 x ^{4} y )}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

= \frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4} + i ( - y ^{5} + 10 x ^{2} y ^{3} - 5 x ^{4} y )}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

標準的な複素数形式で

\frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4} + i ( - y ^{5} + 10 x ^{2} y ^{3} - 5 x ^{4} y )}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}}

を書き換える:

\frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} + \frac{- y ^{5} + 10 x ^{2} y ^{3} - 5 x ^{4} y}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} i

= \frac{x ^{5} - 10 x ^{3} y ^{2} + 5 x y ^{4}}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} + \frac{- y ^{5} + 10 x ^{2} y ^{3} - 5 x ^{4} y}{x ^{4} + 2 x ^{2} y ^{2} + y ^{4}} i