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cos(x+pi/6)-cos(x-pi/6)=1

Lösung

cos (x + \frac{π}{6}) - cos (x - \frac{π}{6}) = 1

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x + \frac{π}{6}) - cos (x - \frac{π}{6}) = 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x + \frac{π}{6}) - cos (x - \frac{π}{6})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2}) sin (\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2})

Vereinfache

- 2 sin (\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2}) sin (\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2}) : - sin (x)

- 2 sin (\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2}) sin (\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2})

\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2} = x

\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2}

x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} = 2 x

x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= x + x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

x + x = 2 x

= 2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} = 0

= 2 x

= \frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

= - 2 sin (x) sin (\frac{x - ( x - \frac{π}{6} ) + \frac{π}{6}}{2})

\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2} = \frac{π}{6}

\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2}

Füge

x + \frac{π}{6} - (x - \frac{π}{6})

zusammen:

\frac{π}{3}

x + \frac{π}{6} - (x - \frac{π}{6})

Wandle das Element in einen Bruch um:

x = \frac{x 6}{6}, (x - \frac{π}{6}) = \frac{( x - \frac{π}{6} ) 6}{6}

= \frac{x \cdot 6}{6} + \frac{π}{6} - \frac{( x - \frac{π}{6} ) \cdot 6}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 6 + π - ( x - \frac{π}{6} ) \cdot 6}{6}

Multipliziere aus

x \cdot 6 + π - (x - \frac{π}{6}) \cdot 6 : 2 π

x \cdot 6 + π - (x - \frac{π}{6}) \cdot 6

= 6 x + π - 6 (x - \frac{π}{6})

Multipliziere aus

- 6 (x - \frac{π}{6}) : - 6 x + π

- 6 (x - \frac{π}{6})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 6, b = x, c = \frac{π}{6}

= - 6 x - (- 6) \frac{π}{6}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 6 x + 6 \cdot \frac{π}{6}

6 \cdot \frac{π}{6} = π

6 \cdot \frac{π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 6}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= π

= - 6 x + π

= x \cdot 6 + π - 6 x + π

Vereinfache

x \cdot 6 + π - 6 x + π : 2 π

x \cdot 6 + π - 6 x + π

Fasse gleiche Terme zusammen

= 6 x - 6 x + π + π

Addiere gleiche Elemente:

6 x - 6 x = 0

= π + π

Addiere gleiche Elemente:

π + π = 2 π

= 2 π

= 2 π

= \frac{2 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{3}

= \frac{\frac{π}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{π}{6}

= - 2 sin (\frac{π}{6}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{1}{2}

= - 2 \cdot \frac{1}{2} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot 2}{2} sin (x)

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - sin (x) \cdot 1

Multipliziere:

sin (x) \cdot 1 = sin (x)

= - sin (x)

= - sin (x)

- sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- sin ( x )}{- 1} = \frac{1}{- 1}

Vereinfache

sin (x) = - 1

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(2θ)+2sin(θ)=0

tan (2 θ) + 2 sin (θ) = 0

2cos^2(x)+7sin(x)=5

2 cos^{2} (x) + 7 sin (x) = 5

tan^2(x)+sec(x)=1

tan^{2} (x) + sec (x) = 1

-4sin(2x)=0

- 4 sin (2 x) = 0

(sin(2x))/(cos(x))=2

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( x )} = 2