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sin(2θ)sin(θ)=cos(θ)

Lösung

sin (2 θ) sin (θ) = cos (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (2 θ) sin (θ) = cos (θ)

Subtrahiere

cos (θ)

von beiden Seiten

sin (2 θ) sin (θ) - cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (θ) + sin (2 θ) sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - cos (θ) + 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ) = 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 2 cos (θ) sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (θ) sin^{2} (θ)

= - cos (θ) + 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

- cos (θ) + 2 cos (θ) sin^{2} (θ) = 0

Faktorisiere

- cos (θ) + 2 cos (θ) sin^{2} (θ) : cos (θ) (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

- cos (θ) + 2 cos (θ) sin^{2} (θ)

Klammere gleiche Terme aus

cos (θ)

= cos (θ) (- 1 + 2 sin^{2} (θ))

Faktorisiere

2 sin^{2} (θ) - 1 : (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

2 sin^{2} (θ) - 1

Schreibe

2 sin^{2} (θ) - 1

um:

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

2 sin^{2} (θ) - 1

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (θ) - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (θ) = (2 sin (θ))^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

= (2 sin (θ))^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (θ))^{2} - 1^{2} = (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

= (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

= cos (θ) (2 sin (θ) + 1) (2 sin (θ) - 1)

(- 1 + sin (θ) 2) (1 + sin (θ) 2) cos (θ) = 0

Löse jeden Teil einzeln

- 1 + sin (θ) 2 = 0 or 1 + sin (θ) 2 = 0 or cos (θ) = 0

- 1 + sin (θ) 2 = 0 : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

- 1 + sin (θ) 2 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 1 + sin (θ) 2 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

- 1 + sin (θ) 2 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

sin (θ) 2 = 1

sin (θ) 2 = 1

Teile beide Seiten durch

2

sin (θ) 2 = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{sin ( θ ) 2}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{sin ( θ ) 2}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{sin ( θ ) 2}{2} : sin (θ)

\frac{sin ( θ ) 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (θ)

Vereinfache

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (θ) = \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

1 + sin (θ) 2 = 0 : θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

1 + sin (θ) 2 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + sin (θ) 2 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + sin (θ) 2 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

sin (θ) 2 = - 1

sin (θ) 2 = - 1

Teile beide Seiten durch

2

sin (θ) 2 = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{sin ( θ ) 2}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{sin ( θ ) 2}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{sin ( θ ) 2}{2} : sin (θ)

\frac{sin ( θ ) 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (θ)

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (θ) = - \frac{2}{2}

sin (θ) = - \frac{2}{2}

sin (θ) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^4(2x)= 9/16

cos^{4} (2 x) = \frac{9}{16}

cos(x+pi/4)+cos(x-pi/4)=1

cos (x + \frac{π}{4}) + cos (x - \frac{π}{4}) = 1

cos(6x)+cos(3x)=0

cos (6 x) + cos (3 x) = 0

sin^2(x)=0.5

sin^{2} (x) = 0.5

csc(θ/3)=sqrt(6)

csc (\frac{θ}{3}) = 6